Вариант 1. Задача 1: Дана прямая призма, в основании прямоугольник со сторонами 4 см и 6 см. Диагональ призмы 10 см. Найдите: 1. длину ребра призмы; 2. площадь боковой поверхности.

Решение:

1. Длина ребра призмы:

Пусть стороны основания равны \( a = 4 \text{ см} \) и \( b = 6 \text{ см} \). Диагональ прямоугольника основания \( d \) найдём по теореме Пифагора: \( d^2 = a^2 + b^2 \) = \( 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52 \). Таким образом, \( d = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \text{ см} \).

Диагональ призмы \( D = 10 \text{ см} \) связана со сторонами основания и высотой призмы \( h \) (которая является длиной бокового ребра) соотношением: \( D^2 = d^2 + h^2 \).

Подставим известные значения: \( 10^2 = 52 + h^2 \).

\( 100 = 52 + h^2 \).

\( h^2 = 100 - 52 = 48 \).

\( h = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \text{ см} \).

Длина ребра призмы (высота) равна \( 4\sqrt{3} \text{ см} \).

2. Площадь боковой поверхности:

Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы. Периметр основания \( P \) прямоугольника: \( P = 2(a + b) = 2(4 + 6) = 2(10) = 20 \text{ см} \).

Площадь боковой поверхности \( S_{бок} = P \cdot h \).

\( S_{бок} = 20 \text{ см} \cdot 4\sqrt{3} \text{ см} = 80\sqrt{3} \text{ см}^2 \).

Площадь боковой поверхности равна \( 80\sqrt{3} \text{ см}^2 \).

Ответ: 1. \( 4\sqrt{3} \text{ см} \). 2. \( 80\sqrt{3} \text{ см}^2 \).