Вариант 1. ВОПРОСЫ К ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОМУ ЗАЧЕТУ 1. Найти производную функции y = 3x^4 - 5cosx + 2 2. Скорость движения точки v (t) = (9t^2-8t) м/с. Найти путь, пройденный точкой за пятую секунду. 3. Для экзамена по ОСД приготовлены 30 билетов. Найти вероятность того, что студенту достанется билет, номер которого является двузначным числом.

Решение:

1. Производная функции:

Данная функция: \( y = 3x^4 - 5\cos x + 2 \)

Чтобы найти производную, применим правила дифференцирования:

• Производная от \( 3x^4 \) равна \( 3 \cdot 4x^{4-1} = 12x^3 \).
• Производная от \( -5\cos x \) равна \( -5 \cdot (-\sin x) = 5\sin x \).
• Производная от константы \( 2 \) равна \( 0 \).

Следовательно, производная функции \( y' \) равна:

\[ y' = 12x^3 + 5\sin x \]

2. Путь, пройденный точкой:

Дана скорость движения точки: \( v(t) = (9t^2 - 8t) \) м/с.

Путь \( s \) является интегралом от скорости по времени. Чтобы найти путь, пройденный за пятую секунду (т.е. от \( t=4 \) до \( t=5 \)), вычислим определённый интеграл:

\[ s = \int_{4}^{5} (9t^2 - 8t) dt \]

Вычисляем интеграл:

\[ s = \left[ \frac{9t^3}{3} - \frac{8t^2}{2} \right]_{4}^{5} = \left[ 3t^3 - 4t^2 \right]_{4}^{5} \]

Подставляем пределы интегрирования:

\[ s = (3 \cdot 5^3 - 4 \cdot 5^2) - (3 \cdot 4^3 - 4 \cdot 4^2) \]
\[ s = (3 \cdot 125 - 4 \cdot 25) - (3 \cdot 64 - 4 \cdot 16) \]
\[ s = (375 - 100) - (192 - 64) \]
\[ s = 275 - 128 \]
\[ s = 147 \text{ м} \]

3. Вероятность выбора билета:

Всего билетов: 30.

Двузначные числа — это числа от 10 до 99.

Количество двузначных чисел среди 30 билетов (предполагая, что номера билетов идут по порядку от 1):

Билеты с номерами от 10 до 30 включительно являются двузначными.

Количество двузначных билетов = \( 30 - 10 + 1 = 21 \).

Вероятность того, что студенту достанется двузначный билет, равна:

\[ P(\text{двузначный билет}) = \frac{\text{Количество двузначных билетов}}{\text{Общее количество билетов}} = \frac{21}{30} \]

Сокращаем дробь:

\[ P = \frac{7}{10} = 0.7 \]

Ответ: 1. y' = 12x^3 + 5sin x. 2. 147 м. 3. 0.7.