Вариант 1: Исследовать непрерывную функцию f(x) = x^2 - 4 / x + 3

Исследовать непрерывную функцию

Для функции \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 3} \):

1. Область определения: Функция определена для всех \( x \), кроме \( x = -3 \), так как знаменатель не может быть равен нулю. \( D(f) = \mathbb{R} \setminus \{-3\} \).

2. Непрерывность: Функция является рациональной, а значит, непрерывна на всей своей области определения. Точка \( x = -3 \) является точкой разрыва второго рода (бесконечный разрыв).

3. Исследование в точке разрыва: Найдем предел функции при \( x \to -3 \):

\( \lim_{x \to -3^-} \frac{x^2 - 4}{x + 3} \) — числитель стремится к \( (-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5 \), знаменатель стремится к \( 0 \) слева (отрицательный). Предел равен \( -\infty \).

\( \lim_{x \to -3^+} \frac{x^2 - 4}{x + 3} \) — числитель стремится к \( 5 \), знаменатель стремится к \( 0 \) справа (положительный). Предел равен \( +\infty \).

Так как односторонние пределы равны \( \pm\infty \), то \( x = -3 \) — точка вертикальной асимптоты.

4. Корни функции: Приравняем числитель к нулю: \( x^2 - 4 = 0 \), \( x^2 = 4 \), \( x = \pm 2 \). Корни функции: \( x = 2 \) и \( x = -2 \).

5. Знаки функции на интервалах: Интервалы: \( (-\infty, -3) \), \( (-3, -2) \), \( (-2, 2) \), \( (2, \infty) \).

• На \( (-\infty, -3) \), например, при \( x = -4 \): \( f(-4) = \frac{(-4)^2 - 4}{-4 + 3} = \frac{16 - 4}{-1} = -12 < 0 \).
• На \( (-3, -2) \), например, при \( x = -2.5 \): \( f(-2.5) = \frac{(-2.5)^2 - 4}{-2.5 + 3} = \frac{6.25 - 4}{0.5} = \frac{2.25}{0.5} = 4.5 > 0 \).
• На \( (-2, 2) \), например, при \( x = 0 \): \( f(0) = \frac{0^2 - 4}{0 + 3} = \frac{-4}{3} < 0 \).
• На \( (2, \infty) \), например, при \( x = 3 \): \( f(3) = \frac{3^2 - 4}{3 + 3} = \frac{9 - 4}{6} = \frac{5}{6} > 0 \).

Итог: Функция непрерывна на \( \mathbb{R} \setminus \{-3\} \). Точка \( x = -3 \) — точка разрыва второго рода (вертикальная асимптота).