Вариант 1. 1. Выберите неверное равенство; а) √25=5 б) √0,9=0,3 в) 17-√16=13 г) √-3²=3 2. Найдите значение выражения: 2√100+√12·√3 3. Решить уравнение х²-9=0, а) 3 б) 9 в) 3; -3 г) 0; -9 4. Решите уравнение х²+5х-24=0. В ответ укажите наименьший корень. 5. Расположите числа в порядке возрастания, ответ обоснуйте: √51; 3√7; 7; 2√15; 17/2 6. Решите неравенство 13-2|5-4x|≥10x-5 . 7. Решите систему неравенств |2x-1≥0, |5-3x>0 8. Теплоход прошел 108 км по течению реки и 84 км против течения, затратив на весь путь 8 часов. Найдите собственную скорость теплохода. Обозначив собственную скорость теплохода через х км/ч, составьте уравнение, соответствующее условию задачи, если известно, что скорость течения реки 3 км/ч. 108 84 а) x+3+x-3=8 108 84 б) x+3 + x-3 +8 108 84 B) x + x-3=8 108 84 г) x-3+x+3=8 9. Решить уравнение 3x-9/x-1 + x+6/x+1 =3 10. При каких значениях параметра р уравнение х²+5x+2p=0 не имеет действительных корней?

Вариант 1.

1. г) $$\sqrt{-3^2} = 3$$. Корень из отрицательного числа не является действительным числом.
2. Решение:
   $$2\sqrt{100} + \sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 10 + \sqrt{4 \cdot 3} \cdot \sqrt{3} = 20 + 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 20 + 2 \cdot 3 = 20 + 6 = 26$$.

   Ответ: 26

3. г) $$x^2 - 9 = 0$$
   

   Решение:

   $$x^2 = 9$$
   $$x = \pm 3$$.

   В варианте г) указаны корни $$0; -9$$, что неверно.

4. Решение:
   

   Уравнение $$x^2 + 5x - 24 = 0$$.

   Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$$.
   $$ \sqrt{D} = 11$$.

   Корни уравнения:

   $$x_1 = \frac{-5 + 11}{2} = \frac{6}{2} = 3$$.

   $$x_2 = \frac{-5 - 11}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$.

   Наименьший корень — -8.

   Ответ: -8

5. Решение:
   

   Сравним числа:

   $$\sqrt{51} \approx 7.14$$
   $$3\sqrt{7} = \sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{63} \approx 7.94$$
   $$7 = \sqrt{49}$$
   $$2\sqrt{15} = \sqrt{4 \cdot 15} = \sqrt{60} \approx 7.75$$
   $$\frac{17}{2} = 8.5 = \sqrt{72.25}$$

   Расположим подкоренные выражения: $$49, 51, 60, 63, 72.25$$.

   В порядке возрастания: $$7, \sqrt{51}, 2\sqrt{15}, 3\sqrt{7}, \frac{17}{2}$$.

   Ответ: $$7, \sqrt{51}, 2\sqrt{15}, 3\sqrt{7}, \frac{17}{2}$$

6. Решение:
   

   $$13 - 2|5 - 4x| \ge 10x - 5$$
   $$13 + 5 - 10x \ge 2|5 - 4x$$
   $$18 - 10x \ge 2|5 - 4x$$
   $$9 - 5x \ge |5 - 4x|$$

   Рассмотрим два случая:

   1) $$5 - 4x \ge 0 \implies 4x \le 5 \implies x \le 1.25$$.

   $$9 - 5x \ge 5 - 4x$$
   $$9 - 5 \ge 5x - 4x$$
   $$4 \ge x$$.
   Учитывая $$x \le 1.25$$, получаем $$x \le 1.25$$.

   2) $$5 - 4x < 0 \implies x > 1.25$$.

   $$9 - 5x \ge -(5 - 4x)$$
   $$9 - 5x \ge -5 + 4x$$
   $$9 + 5 \ge 4x + 5x$$
   $$14 \ge 9x$$
   $$x \le \frac{14}{9} \approx 1.55$$.
   Учитывая $$x > 1.25$$, получаем $$1.25 < x \le \frac{14}{9}$$.

   Объединяя оба случая: $$x \le \frac{14}{9}$$.

   Ответ: $$x \le \frac{14}{9}$$

7. Решение:
   

   Из первой системы $$2x \ge 1 \implies x \ge 0.5$$.

   Из второй системы $$5 > 3x \implies x < \frac{5}{3}$$.

   Система неравенств:

   $$\begin{cases} x \ge 0.5 \\ x < \frac{5}{3} \end{cases}$$

   Решением системы является интервал $$[0.5; \frac{5}{3})$$.

   Ответ: $$x \in [0.5; \frac{5}{3})$$

8. Решение:
   

   Пусть $$x$$ — собственная скорость теплохода (км/ч).

   Скорость теплохода по течению: $$(x + 3)$$ км/ч.

   Скорость теплохода против течения: $$(x - 3)$$ км/ч.

   Время движения по течению: $$\frac{108}{x+3}$$ часов.

   Время движения против течения: $$\frac{84}{x-3}$$ часов.

   Общее время: $$\frac{108}{x+3} + \frac{84}{x-3} = 8$$.

   Ответ: $$\frac{108}{x+3} + \frac{84}{x-3} = 8$$

9. Решение:
   

   $$\frac{3x-9}{x-1} + \frac{x+6}{x+1} = 3$$
   $$\frac{3(x-3)}{x-1} + \frac{x+6}{x+1} = 3$$
   Приведём к общему знаменателю $$(x-1)(x+1) = x^2-1$$.

   $$3(x-3)(x+1) + (x+6)(x-1) = 3(x^2-1)$$
   $$3(x^2 + x - 3x - 3) + (x^2 - x + 6x - 6) = 3x^2 - 3$$
   $$3(x^2 - 2x - 3) + (x^2 + 5x - 6) = 3x^2 - 3$$
   $$3x^2 - 6x - 9 + x^2 + 5x - 6 = 3x^2 - 3$$
   $$4x^2 - x - 15 = 3x^2 - 3$$
   $$4x^2 - 3x^2 - x - 15 + 3 = 0$$
   $$x^2 - x - 12 = 0$$.

   Найдем дискриминант: $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$$.
   $$\sqrt{D} = 7$$.

   Корни уравнения:

   $$x_1 = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$$.

   $$x_2 = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$.

   Проверим знаменатели: $$x-1
   e 0$$ и $$x+1
   e 0$$. Оба корня подходят.

   Ответ: $$x = 4, x = -3$$

10. Решение:
    

    Квадратное уравнение $$x^2 + 5x + 2p = 0$$ не имеет действительных корней, если дискриминант отрицательный ($$D < 0$$).

    Дискриминант $$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2p) = 25 - 8p$$.

    Условие $$D < 0$$: $$25 - 8p < 0$$
    $$25 < 8p$$
    $$p > \frac{25}{8}$$.

    Ответ: $$p > \frac{25}{8}$$