Вариант 1: 1. Упростите выражение (a+b)²-2a(3-2a). 2. Решите систему уравнений: 5x-2y=11, 4x-y=4. 3. а) Постройте график функции y=2x-2. б) Определите, проходит ли график функции через точку A(-10; -20). 4. Разложите на множители: а) 2ab²-2a²b+6a²b²; б) x³-3x-3y-y³. 5. Из пункта А вниз по реке отправился плот. Через 1 ч навстречу ему из пункта В, находящегося в 30 км от А, вышла моторная лодка, которая встретилась с плотом через 2 ч после своего выхода. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.

Вариант 1

1. Упрощение выражения:

\( (a+b)^2 - 2a(3-2a) = a^2 + 2ab + b^2 - 6a + 4a^2 = 5a^2 + 2ab + b^2 - 6a \)

2. Решение системы уравнений:

Система:

\( \begin{cases} 5x-2y=11 \\ 4x-y=4 \end{cases} \)

Выразим \( y \) из второго уравнения: \( y = 4x - 4 \).

Подставим в первое уравнение:

\( 5x - 2(4x - 4) = 11 \)

\( 5x - 8x + 8 = 11 \)

\( -3x = 3 \)

\( x = -1 \)

Найдем \( y \):

\( y = 4(-1) - 4 = -4 - 4 = -8 \)

Ответ: \( x = -1, y = -8 \).

3. График функции:

а) График функции \( y = 2x - 2 \) — прямая.

Найдем две точки для построения:

• Если \( x = 0 \), то \( y = 2(0) - 2 = -2 \). Точка (0; -2).
• Если \( y = 0 \), то \( 0 = 2x - 2 \), \( 2x = 2 \), \( x = 1 \). Точка (1; 0).

б) Проверим, проходит ли график через точку \( A(-10; -20) \).

Подставим координаты точки в уравнение функции:

\( -20 = 2(-10) - 2 \)

\( -20 = -20 - 2 \)

\( -20 = -22 \) (Ложно)

Ответ: График функции не проходит через точку A(-10; -20).

4. Разложение на множители:

а) \( 2ab^2 - 2a^2b + 6a^2b^2 = 2ab(b - a + 3ab) \)

б) \( x^3 - 3x - 3y - y^3 \) — данное выражение не раскладывается на простые множители стандартными методами.

5. Задача о скорости:

Пусть \( v_{лодки} \) — собственная скорость лодки, \( v_{течения} = 2 \) км/ч.

Скорость плота по течению: \( v_{плота} = v_{течения} = 2 \) км/ч.

Скорость лодки против течения: \( v_{лодки, против} = v_{лодки} - v_{течения} = v_{лодки} - 2 \) км/ч.

Плот из пункта А вышел первым. Через 1 час из пункта В вышла лодка.

За 1 час плот проплыл: \( S_{плота, 1ч} = 2 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 2 \) км.

Расстояние между плотом и лодкой через 1 час: \( 30 \text{ км} - 2 \text{ км} = 28 \) км.

Лодка и плот встретились через 2 часа после выхода лодки.

За эти 2 часа плот проплыл: \( S_{плота, 2ч} = 2 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 4 \) км.

За эти 2 часа лодка проплыла: \( S_{лодки} = (v_{лодки} - 2) \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 2v_{лодки} - 4 \) км.

Общее расстояние, которое они прошли навстречу друг другу за 2 часа, равно расстоянию между ними через 1 час:

\( S_{плота, 2ч} + S_{лодки} = 28 \)

\( 4 + (2v_{лодки} - 4) = 28 \)

\( 2v_{лодки} = 28 \)

\( v_{лодки} = 14 \) км/ч.

Ответ: Собственная скорость лодки — 14 км/ч.