Вариант 1 • 1. Упростите выражение (а + 6)²-2а (3-2а). • 2. Решите систему уравнений: 5x-2y-11, 4x-y=4. • 3. а) Постройте график функции у=2х-2. б) Определите, проходит ли график функции через точку A(-10; -20). 4. Разложите на множители: a) 2a⁴b³-2a³b⁴ + 6a²b²; б) х²-3х-3у- у². 5. Из пункта А вниз по реке отправился плот. Через 1 ч навстречу ему из пункта В, находящегося в 30 км от А, вышла моторная лодка, которая встретилась с пло- том через 2 ч после своего выхода. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.

Вариант 1

1. Упрощение выражения:

\[ (a+6)^2 - 2a(3-2a) \]

Раскроем скобки:

\[ (a^2 + 12a + 36) - (6a - 4a^2) \]

Уберем вторые скобки, меняя знаки:

\[ a^2 + 12a + 36 - 6a + 4a^2 \]

Приведем подобные слагаемые:

\[ (a^2 + 4a^2) + (12a - 6a) + 36 \]

\[ 5a^2 + 6a + 36 \]

Ответ:

2. Решение системы уравнений:

\[ \begin{cases} 5x - 2y = 11 \\ 4x - y = 4 \end{cases} \]

Из второго уравнения выразим y:

\[ y = 4x - 4 \]

Подставим это в первое уравнение:

\[ 5x - 2(4x - 4) = 11 \]

\[ 5x - 8x + 8 = 11 \]

\[ -3x = 11 - 8 \]

\[ -3x = 3 \]

\[ x = -1 \]

Теперь найдем y:

\[ y = 4(-1) - 4 \]

\[ y = -4 - 4 \]

\[ y = -8 \]

Ответ:

3. График функции y = 2x - 2:

а) Чтобы построить график, найдем две точки. Например:

• Если x = 0, то y = 2(0) - 2 = -2. Точка (0; -2).
• Если x = 1, то y = 2(1) - 2 = 0. Точка (1; 0).

Проведем прямую через эти точки.

б) Проверим, проходит ли график через точку A(-10; -20). Подставим координаты точки в уравнение функции:

\[ -20 = 2(-10) - 2 \]

\[ -20 = -20 - 2 \]

\[ -20 = -22 \]

Это неверно. Значит, график функции y = 2x - 2 не проходит через точку A(-10; -20).

Ответ: График не проходит через точку А.

4. Разложение на множители:

а)

\[ 2a^4b^3 - 2a^3b^4 + 6a^2b^2 \]

Вынесем общий множитель 2a²b²:

\[ 2a^2b^2(a^2b - ab^2 + 3) \]

б)

\[ x^2 - 3x - 3y - y^2 \]

Перегруппируем слагаемые:

\[ (x^2 - 3x) - (y^2 + 3y) \]

Это выражение нельзя разложить на множители простыми методами без дополнительных условий или приближений.

Ответ: а) 2a²b²(a²b - ab² + 3); б) Выражение не раскладывается на множители простыми методами.

5. Скорость лодки:

Пусть v — собственная скорость лодки (км/ч), а t — скорость течения реки (t = 2 км/ч).

• Скорость плота = скорость течения = 2 км/ч.
• Скорость лодки по течению = v + 2 км/ч.
• Скорость лодки против течения = v - 2 км/ч.

Плот плыл 1 час, преодолев расстояние 2 * 1 = 2 км. Его положение через 1 час было в 2 км от А.

Лодка вышла из В (30 км от А) через 1 час после плота. Встреча произошла через 2 часа после выхода лодки.

За эти 2 часа лодка проплыла расстояние (v - 2) * 2 км (так как она шла навстречу плоту, то есть против течения).

За эти 2 часа плот проплыл расстояние 2 * 2 = 4 км.

Положение лодки в момент встречи относительно А: 30 - (v - 2) * 2 км.

Положение плота в момент встречи относительно А: 2 (начальное положение) + 2 * 2 = 6 км.

Приравниваем положения:

\[ 30 - 2(v - 2) = 6 \]

\[ 30 - 2v + 4 = 6 \]

\[ 34 - 2v = 6 \]

\[ 2v = 34 - 6 \]

\[ 2v = 28 \]

\[ v = 14 \]

Ответ: Собственная скорость лодки 14 км/ч.