Вариант 1. 1. Найти производную функции y = 3x⁴ - 5cosx + 2. 2. Скорость движения точки v (t) = (9t² - 8t) м/с. Найти путь, пройденный точкой за пятую секунду. 3. Для экзамена по ОСД приготовлены 30 билетов. Найти вероятность того, что студенту достанется билет, номер которого является двузначным числом.

Решение:

1. 1. Найдём производную функции:
   Дана функция \( y = 3x^4 - 5сos x + 2 \).
   Производная функции \( y' \) находится по правилам дифференцирования:
   \( y' = (3x^4)' - (5сos x)' + (2)' \)
   \( y' = 3 · 4x^{4-1} - 5(-сin x) + 0 \)
   \( y' = 12x^3 + 5сin x \)
2. 2. Найдём путь, пройденный точкой:
   Дана скорость движения точки \( v(t) = (9t^2 - 8t) \) м/с.
   Путь \( S \) — это интеграл от скорости по времени.
   \( S(t) = ∫ v(t) dt = ∫ (9t^2 - 8t) dt \)
   \( S(t) = 9 · \frac{t^3}{3} - 8 · \frac{t^2}{2} + C \)
   \( S(t) = 3t^3 - 4t^2 + C \)
   Пятая секунда — это интервал от \( t=4 \) до \( t=5 \).
   Путь, пройденный за пятую секунду: \( ΔS = S(5) - S(4) \)
   \( S(5) = 3 · 5^3 - 4 · 5^2 = 3 · 125 - 4 · 25 = 375 - 100 = 275 \)
   \( S(4) = 3 · 4^3 - 4 · 4^2 = 3 · 64 - 4 · 16 = 192 - 64 = 128 \)
   \( ΔS = 275 - 128 = 147 \) м.
3. 3. Найдём вероятность:
   Всего билетов: 30.
   Двузначные номера билетов: от 10 до 30 включительно.
   Количество двузначных билетов = \( 30 - 10 + 1 = 21 \).
   Вероятность события \( P(A) = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} \)
   \( P(A) = \frac{21}{30} = \frac{7}{10} = 0.7 \)

Ответ: 1. \( y' = 12x^3 + 5сin x \). 2. 147 м. 3. 0.7.