Вариант 1: 1. Дан прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АС = 13 см и катетом ВС = 5 см. Отрезок SA = 12 см, перпендикуляр к плоскости АВС. а) Найдите А S+S C+°C В|; б) Найдите угол между прямой SB и плоскостью ABC. 2. В правильной четырехугольной пирамиде диагональ основания равна 8√2 см, а двугранный угол при основании равен 60°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. 3. Постройте сечение куба АВСDA1B1C1D1, проходящей через вершину D и середины ребер АА1 и А1В1

Вариант 1

1. а)

   Сначала найдём катет AB по теореме Пифагора: \( AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \) см.

   Теперь найдём длины отрезков SA, SC, SB:

   • SA = 12 см (дано).
   • SC = \( \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{12^2 + 13^2} = \sqrt{144 + 169} = \sqrt{313} \) см.
   • SB = \( \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{12^2 + 12^2} = \sqrt{144 + 144} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2} \) см.

   б)

   Угол между прямой SB и плоскостью ABC — это угол между SB и его проекцией на плоскость ABC, то есть между SB и AB. Угол ∠SBA.

   В треугольнике SAB (он прямоугольный, так как SA перпендикулярна плоскости ABC):

   \( \tan(\angle SBA) = \frac{SA}{AB} = \frac{12}{12} = 1 \)

   Следовательно, \( \angle SBA = 45^{\circ} \).

2. Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна \( d = 8\sqrt{2} \) см. Сторона основания \( a \) связана с диагональю как \( d = a\sqrt{2} \). Отсюда \( a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 8 \) см.

   Апофема \( h \) — высота боковой грани. Двугранный угол при основании равен \( 60^{\circ} \). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, высотой пирамиды и радиусом основания (половина стороны основания). В основании лежит квадрат, поэтому радиус равен \( \frac{a}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) см. Угол между апофемой и основанием равен \( 60^{\circ} \).

   \( \tan(60^{\circ}) = \frac{H}{4} \), где \( H \) — высота пирамиды. \( H = 4 \tan(60^{\circ}) = 4\sqrt{3} \) см.

   Апофема \( h \) находится из прямоугольного треугольника с катетами \( 4 \) см и \( H \) см. Или из треугольника, образованного апофемой, высотой пирамиды и половиной стороны основания. В этом треугольнике угол при основании равен \( 60^{\circ} \), а противолежащий катет — высота \( H \).

   \( \sin(60^{\circ}) = \frac{H}{h} \)

   \( h = \frac{H}{\sin(60^{\circ})} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 8 \) см.

   Площадь основания: \( S_{осн} = a^2 = 8^2 = 64 \) см².

   Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} h \), где \( P_{осн} \) — периметр основания. \( P_{осн} = 4a = 4 \times 8 = 32 \) см.

   \( S_{бок} = \frac{1}{2} \times 32 \times 8 = 128 \) см².

   Площадь полной поверхности: \( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 64 + 128 = 192 \) см².

3. Сечение куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через вершину D и середины ребер AA1 и A1B1.

   Пусть M — середина AA1, N — середина A1B1.

   Сечение будет плоскостью DMN.

   Для построения:

   1. Отметьте вершину D.
   2. Отметьте середину ребра AA1 (точка M).
   3. Отметьте середину ребра A1B1 (точка N).
   4. Проведите прямую DM.
   5. Проведите прямую DN.
   6. Найдите точку пересечения прямой DM с ребром A1D1 (если оно существует). В данном случае DM не пересекает A1D1, поэтому строить нужно иначе.
   7. Плоскость проходит через D, M (середина AA1) и N (середина A1B1).
   8. Проведем прямую MN. Она параллельна A1A и A1B1.
   9. Через D проведем прямую, параллельную MN. Это будет прямая, проходящая через D и середину ребра C1D1, назовем ее K.
   10. Таким образом, сечение — это параллелограмм DM NK.
   11. Построение:
   • Соедините D с M.
   • Соедините M с N.
   • Найдите на ребре C1D1 точку K, такую, что DK || MN.
   • Соедините K с D.
   • Соедините N с K.
   12. Сечение — параллелограмм DM NK.

   Ответ: а) SA=12 см, SC=√313 см, SB=12√2 см; б) 45°.

   Ответ: 192 см².

   Ответ: Сечение — параллелограмм DM NK, где M — середина AA1, N — середина A1B1, K — середина C1D1.