Вариант 2. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 16 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найдите: а) боковое ребро пирамиды; б) сторону основания пирамиды; в) апофему пирамиды; г) угол между боковой гранью и основанием пирамиды; д) плоский угол при вершине пирамиды; е) площадь боковой поверхности пирамиды.

а) боковое ребро пирамиды;

Решение:

Пусть H - высота пирамиды, a - сторона основания, l - боковое ребро. Так как боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°, и пирамида правильная четырехугольная, то основание высоты пирамиды проецируется в центр квадрата, лежащего в основании. Таким образом, половина диагонали квадрата основания равна прилежащему катету к углу 60°, а высота пирамиды - противолежащий катет.

Обозначим половину диагонали основания за x. Тогда:

\[\tan 60^\circ = \frac{H}{x}\]

\[x = \frac{H}{\tan 60^\circ} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}\]

Диагональ основания равна \(2x = 2\sqrt{2}\), а сторона основания a равна:

\[a = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2\]

Теперь найдем боковое ребро l:

\[l = \sqrt{H^2 + x^2 + x^2} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{6 + 2 + 2} = \sqrt{10}\]

Ответ: \(\sqrt{10}\)

б) сторону основания пирамиды;

Решение:

Сторону основания мы уже нашли, она равна 2.

Ответ: 2

в) апофему пирамиды;

Решение:

Апофема (A) - это высота боковой грани. Найдем её:

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и половиной стороны основания. По теореме Пифагора:

\[A = \sqrt{H^2 + (a/2)^2} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (2/2)^2} = \sqrt{6 + 1} = \sqrt{7}\]

Ответ: \(\sqrt{7}\)

г) угол между боковой гранью и основанием пирамиды;

Решение:

Угол между боковой гранью и основанием - это угол между апофемой и её проекцией на основание (половиной стороны основания).

\[\tan \alpha = \frac{H}{a/2} = \frac{\sqrt{6}}{1} = \sqrt{6}\]

\[\alpha = \arctan(\sqrt{6})\]

Ответ: \(\arctan(\sqrt{6})\)

д) плоский угол при вершине пирамиды;

Решение:

Плоский угол при вершине пирамиды - это угол между боковыми ребрами в боковой грани. Рассмотрим равнобедренный треугольник со сторонами \(\sqrt{10}\), \(\sqrt{10}\) и 2. Найдем угол \(\beta\) при вершине:

По теореме косинусов:

\[2^2 = (\sqrt{10})^2 + (\sqrt{10})^2 - 2 \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{10} \cdot \cos \beta\]

\[4 = 10 + 10 - 20 \cos \beta\]

\[20 \cos \beta = 16\]

\[\cos \beta = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} = 0.8\]

\[\beta = \arccos(0.8)\]

Ответ: \(\arccos(0.8)\)

е) площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение:

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых граней. Так как пирамида правильная, то все грани - равные треугольники. Площадь одного треугольника равна половине произведения основания на высоту (апофему):

\[S_{бок} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot A = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{7} = 4\sqrt{7}\]

Ответ: \(4\sqrt{7}\)