Вариант 2. 1. Вычислите площадь треугольника АВС, если АВ= 7, ВС= 11, а угол между этими сторонами равен 135 градусов. 2. В треугольнике АВС угол А = 45 градусов, угол В = 30 градусов, ВС = 6. Найти АС. 3. Две стороны треугольника АВС равны 6 и 8 соответственно. А угол между ними равен 120 градусов. Найти третью сторону. 4. Вычислить скалярное произведение векторов а {0; -13} и в {1; - 6}. 5. Вычислить косинус угла между векторами п {24; -8} и т {-1; 3}. 6. Будут ли векторы перпендикулярны а {4;-0,5} и Б {-1; 8}.

1. Площадь треугольника

Давай вспомним формулу площади треугольника, когда известны две стороны и угол между ними:

\[ S = \frac{1}{2}ab\sin(\gamma) \]

В нашем случае:

• a = AB = 7
• b = BC = 11
• \(\gamma\) = 135°

Синус угла 135° равен синусу угла 45°, то есть \(\sin(135^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Подставляем значения в формулу:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 11 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{77\sqrt{2}}{4} \]

Ответ: Площадь треугольника равна \(\frac{77\sqrt{2}}{4}\)

2. Найти сторону AC по теореме синусов

Теорема синусов гласит:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

В нашем случае:

• Угол A = 45°
• Угол B = 30°
• BC = a = 6

Нужно найти AC = b.

Применим теорему синусов:

\[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \] \[ \frac{6}{\sin 45^\circ} = \frac{AC}{\sin 30^\circ} \]

\(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\). Подставляем:

\[ \frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{1}{2}} \] \[ AC = \frac{6 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \]

Ответ: AC = \(3\sqrt{2}\)

3. Найти третью сторону по теореме косинусов

Теорема косинусов:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma) \]

В нашем случае:

• a = 6
• b = 8
• \(\gamma\) = 120°

\(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\). Подставляем:

\[ c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot (-\frac{1}{2}) \] \[ c^2 = 36 + 64 + 48 = 148 \] \[ c = \sqrt{148} = 2\sqrt{37} \]

Ответ: Третья сторона равна \(2\sqrt{37}\)

4. Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов a{x1, y1} и b{x2, y2} вычисляется по формуле:

\[ a \cdot b = x_1x_2 + y_1y_2 \]

В нашем случае:

• a {0; -13}
• b {1; -6}

Подставляем значения:

\[ a \cdot b = 0 \cdot 1 + (-13) \cdot (-6) = 0 + 78 = 78 \]

Ответ: Скалярное произведение равно 78

5. Косинус угла между векторами

Косинус угла между векторами p{x1, y1} и m{x2, y2} вычисляется по формуле:

\[ \cos(\alpha) = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}} \]

В нашем случае:

• p {24; -8}
• m {-1; 3}

Подставляем значения:

\[ \cos(\alpha) = \frac{24 \cdot (-1) + (-8) \cdot 3}{\sqrt{24^2 + (-8)^2} \cdot \sqrt{(-1)^2 + 3^2}} = \frac{-24 - 24}{\sqrt{576 + 64} \cdot \sqrt{1 + 9}} = \frac{-48}{\sqrt{640} \cdot \sqrt{10}} = \frac{-48}{\sqrt{6400}} = \frac{-48}{80} = -\frac{3}{5} \]

Ответ: Косинус угла равен -0.6

6. Перпендикулярность векторов

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

В нашем случае:

• a {4; -0.5}
• b {-1; 8}

Вычислим скалярное произведение:

\[ a \cdot b = 4 \cdot (-1) + (-0.5) \cdot 8 = -4 - 4 = -8 \]

Так как скалярное произведение не равно нулю, векторы не перпендикулярны.

Ответ: Векторы не перпендикулярны

Ответ: 1) \(\frac{77\sqrt{2}}{4}\), 2) \(3\sqrt{2}\), 3) \(2\sqrt{37}\), 4) 78, 5) -0.6, 6) не перпендикулярны