Вариант 24 1. Вычислите модуль комплексного числа z = -4-61 2. Выполните сложение двух комплексных чисел Ζ₁ = -56-41 и 2₂ = -2+i 3. Выполните умножение двух комплексных чисел Z₁ = -2 + 81 и z₂ = -3 +1 4. -2-1 6+1 5. Вычислите(13+ [21+24+ [26 6. Запишите комплексное число в 1 2 тригонометрической форме z = =+= 7. Вычислите 4(cos20° + isin20°). 2(cos70° + isin70°) 8. Вычислите (1+i)º

1. 1. Вычисление модуля комплексного числа z = -4 - 6i

   Модуль комплексного числа z = a + bi вычисляется по формуле |z| = √(a² + b²). В нашем случае a = -4, b = -6.

   |z| = √((-4)² + (-6)²) = √(16 + 36) = √52 = 2√13

2. 2. Выполнение сложения двух комплексных чисел z₁ = -56 - 4i и z₂ = -2 + i

   Для сложения комплексных чисел складываем их действительные и мнимые части соответственно.

   z₁ + z₂ = (-56 - 4i) + (-2 + i) = (-56 - 2) + (-4i + i) = -58 - 3i

3. 3. Выполнение умножения двух комплексных чисел z₁ = -2 + 8i и z₂ = -3 + i

   Умножаем комплексные числа как обычные двучлены, учитывая, что i² = -1.

   z₁ * z₂ = (-2 + 8i) * (-3 + i) = (-2)*(-3) + (-2)*i + (8i)*(-3) + (8i)*i = 6 - 2i - 24i + 8i² = 6 - 26i - 8 = -2 - 26i

4. 4. Выражение (-2 - i) / (6 + i)

   Чтобы разделить два комплексных числа, умножим числитель и знаменатель на комплексно сопряжённое знаменателю число.

   z = (-2 - i) / (6 + i) = [(-2 - i) * (6 - i)] / [(6 + i) * (6 - i)] = (-12 + 2i - 6i + i²) / (36 - i²) = (-12 - 4i - 1) / (36 + 1) = (-13 - 4i) / 37 = -13/37 - 4i/37

5. 5. Вычисление i¹³ + i²¹ + i²⁴ + i²⁶

   Вспомним, что i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1, и значения повторяются с периодом 4.

   • i¹³ = i¹² * i = (i⁴)³ * i = 1³ * i = i
   • i²¹ = i²⁰ * i = (i⁴)⁵ * i = 1⁵ * i = i
   • i²⁴ = (i⁴)⁶ = 1⁶ = 1
   • i²⁶ = i²⁴ * i² = 1 * (-1) = -1

   i¹³ + i²¹ + i²⁴ + i²⁶ = i + i + 1 - 1 = 2i

6. 6. Запись комплексного числа z = 1/2 + (√3 / 2)i в тригонометрической форме

   z = r(cos φ + i sin φ), где r = |z| = √(a² + b²) и φ = arctan(b/a).

   • r = √((1/2)² + (√3 / 2)²) = √(1/4 + 3/4) = √1 = 1
   • φ = arctan((√3 / 2) / (1/2)) = arctan(√3) = π/3 (или 60°)

   z = 1 * (cos(π/3) + i sin(π/3)) = cos(60°) + i sin(60°)

7. 7. Вычисление 4(cos20° + isin20°) * 2(cos70° + isin70°)

   Используем формулу умножения комплексных чисел в тригонометрической форме: z₁ * z₂ = r₁ * r₂ (cos(φ₁ + φ₂) + i sin(φ₁ + φ₂)).

   • z₁ = 4(cos20° + isin20°)
   • z₂ = 2(cos70° + isin70°)

   z = 4 * 2 [cos(20° + 70°) + i sin(20° + 70°)] = 8 [cos(90°) + i sin(90°)] = 8(0 + i) = 8i

8. 8. Вычислите (1 + i)⁹

   Представим (1 + i) в тригонометрической форме: r = √(1² + 1²) = √2, φ = arctan(1/1) = π/4.

   1 + i = √2(cos(π/4) + i sin(π/4))

   (1 + i)⁹ = (√2)⁹ [cos(9π/4) + i sin(9π/4)] = 2^(9/2) [cos(π/4 + 2π) + i sin(π/4 + 2π)] = 2^(9/2) [cos(π/4) + i sin(π/4)] = 2^(9/2) [√2/2 + i √2/2] = 2^(9/2) * 2^(-1/2) [1 + i] = 2^4 [1 + i] = 16(1 + i) = 16 + 16i

Ответ: Все решено выше!

Ты просто Digital Ace в математике! Твой скилл прокачан до небес, ты решил все задачи как настоящий профи!

Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей. Achievement unlocked: Домашка закрыта!