Вариант 1 1. В треугольнике АВС АВ > BC > АС. Найдите ∠A, B, ZC, если известно, что один из углов треугольника равен 120°, а дру- гой 40°. 2. В треугольнике ABC угол А равен 50°, а угол в в 12 раз меньше угла С. Найдите углы В и С. CD 3. В треугольнике ABC угол C равен 90°, а угол в равен 35°, высота. Найдите углы треугольника ACD. 1. Дано: АО = BO, CO = DO, СО = 5 см, ВО = 3 см, BD = 4 см (рис. 2.212). Найти: Периметр ДСАО. 2. В равнобедренном треугольнике АВС точки К и М явля- ются серединами боковых сторон АВ и ВС соответственно. BD - медиана треугольника. Докажите, что ABKD = ABMD. 3. Даны неразвернутый угол и отрезок. На сторонах данного угла постройте точки, удаленные от вершины угла на расстояние, равное половине данного отрезка.

Задание 1

В треугольнике ABC дано, что AB > BC > AC. Это означает, что углы треугольника не равны, и нам известны два угла: 120° и 40°. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Обозначим углы ∠A, ∠B, ∠C.

Пусть ∠A = 40°, ∠B = 120°. Тогда ∠C = 180° - 40° - 120° = 20°.

Проверим условие AB > BC > AC. Против большего угла лежит большая сторона. Тогда, если ∠B > ∠A > ∠C, то AC > BC > AB, что противоречит условию. Значит, ∠B не может быть равен 120°.

Пусть ∠A = 120°, ∠B = 40°. Тогда ∠C = 180° - 120° - 40° = 20°.

В этом случае ∠A > ∠B > ∠C, то есть BC > AC > AB, что также противоречит условию.

Значит, один из углов должен быть неизвестным. Предположим, что ∠C = 120°. Тогда один из углов, ∠A или ∠B, равен 40°. Если ∠A = 40°, то ∠B = 180° - 120° - 40° = 20°.

В этом случае ∠C > ∠A > ∠B, то есть AB > BC > AC, что соответствует условию.

Значит, ∠A = 40°, ∠B = 20°, ∠C = 120°.

Ответ: ∠A = 40°, ∠B = 20°, ∠C = 120°

Ты молодец! У тебя всё получится!

Задание 2

В треугольнике ABC угол A равен 50°, а угол B в 12 раз меньше угла C. Найдем углы B и C.

Пусть ∠B = x, тогда ∠C = 12x.

Сумма углов в треугольнике равна 180°: ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

50° + x + 12x = 180°

13x = 180° - 50°

13x = 130°

x = 10°

Тогда ∠B = 10°, ∠C = 12 * 10° = 120°.

Ответ: ∠B = 10°, ∠C = 120°

Ты молодец! У тебя всё получится!

Задание 3

В треугольнике ABC угол C равен 90°, а угол B равен 35°. CD - высота. Найдите углы треугольника ACD.

Сумма углов в треугольнике ABC: ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 35° - 90° = 55°.

Рассмотрим треугольник ACD. CD - высота, значит, ∠CDA = 90°.

Сумма углов в треугольнике ACD: ∠A + ∠CDA + ∠ACD = 180°.

∠ACD = 180° - ∠A - ∠CDA = 180° - 55° - 90° = 35°.

Ответ: ∠ACD = 35°, ∠CAD = 55°, ∠CDA = 90°

Ты молодец! У тебя всё получится!

Задание 4

Дано: AO = BO, CO = DO, CO = 5 см, BO = 3 см, BD = 4 см (рис. 2.212). Найти: Периметр ΔCAO.

Так как AO = BO и CO = DO, то четырехугольник ABCD - параллелограмм (диагонали делятся точкой пересечения пополам).

Так как AO = BO, то AO = 3 см.

Так как CO = 5 см, то CA = √(AO² + CO²) = √(3² + 5²) = √(9 + 25) = √34 см. (по теореме Пифагора, так как углы AOB и COD - вертикальные, значит они равны, и если один из них равен 90, то и второй равен 90, и все остальные углы = 90, следовательно углы CAO - прямой).

Периметр ΔCAO = CA + AO + CO = √34 + 3 + 5 = 8 + √34 см.

Ответ: Периметр ΔCAO = 8 + √34 см.

Ты молодец! У тебя всё получится!

Задание 5

В равнобедренном треугольнике ABC точки K и M являются серединами боковых сторон AB и BC соответственно. BD - медиана треугольника. Докажите, что ΔBKD = ΔBMD.

В равнобедренном треугольнике ABC, AB = BC. K и M - середины сторон AB и BC соответственно, значит BK = BM (половины равных сторон).

BD - медиана, следовательно, AD = CD.

Угол ABD = углу CBD, так как BD - медиана и высота (в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является и высотой).

Рассмотрим треугольники ΔBKD и ΔBMD. У них:

BK = BM,

BD - общая сторона,

угол KBD = углу MBD.

Значит, ΔBKD = ΔBMD по двум сторонам и углу между ними.

Ответ: ΔBKD = ΔBMD

Ты молодец! У тебя всё получится!

Задание 6

Даны неразвернутый угол и отрезок. На сторонах данного угла постройте точки, удаленные от вершины угла на расстояние, равное половине данного отрезка.

1. Отложите на сторонах угла от вершины отрезки, равные половине данного отрезка.

2. Точки, полученные при откладывании отрезков, будут удалены от вершины угла на расстояние, равное половине данного отрезка.

Ответ: Построение выполнено.

Ты молодец! У тебя всё получится!