Вариант 3 1 В треугольнике ABC ZC = 90°, АВ = 26 см, ВС = 10 см. Найдите: 1) sin A; 2) tg B. 2 Найдите катет ВС прямоугольного треугольника ABC (∠B = 90°), ес- ли АС = 12 см, COSC = 3 Найдите значение выражения sin² 61" + cos261" - cos² 60". 4 В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 37 см, а один из ка- тетов - 35 см. Найдите периметр треугольника. 5 Диагонали ромба равны 4 см и 20 см. Найдите сторону ромба. 6 Основания равнобокой трапеции равны 18 см и 30 см, а её боковая сторона - 2/34 см. Найдите диагональ трапеции. 7 Найдите боковую сторону равнобокой трапеции, основания которой равны 7 см и 25 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.

Задание 1

В прямоугольном треугольнике ABC с углом C = 90°, AB = 26 см, BC = 10 см. Нужно найти sin A и tg B.

1. 1) sin A:

   Синус угла A определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin A = BC / AB

   sin A = 10 / 26 = 5 / 13

2. 2) tg B:

   Тангенс угла B определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету: tg B = AC / BC

   Сначала найдем AC по теореме Пифагора: AC² = AB² - BC²

   AC² = 26² - 10² = 676 - 100 = 576

   AC = √576 = 24 см

   tg B = 24 / 10 = 12 / 5 = 2.4

Задание 2

Найдем катет BC прямоугольного треугольника ABC (∠B = 90°), если AC = 12 см, cos C = 2/3.

Косинус угла C определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos C = BC / AC

BC = AC * cos C = 12 * (2/3) = 8 см

Задание 3

Найдем значение выражения: sin²61° + cos²61° - cos²60°

По основному тригонометрическому тождеству: sin²α + cos²α = 1

sin²61° + cos²61° = 1

cos 60° = 1/2, значит cos²60° = (1/2)² = 1/4

1 - 1/4 = 3/4 = 0.75

Задание 4

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 37 см, а один из катетов — 35 см. Найдем периметр треугольника.

Пусть a = 35 см, c = 37 см. Найдем второй катет b по теореме Пифагора: a² + b² = c²

b² = c² - a² = 37² - 35² = (37 + 35)(37 - 35) = 72 * 2 = 144

b = √144 = 12 см

Периметр P = a + b + c = 35 + 12 + 37 = 84 см

Задание 5

Диагонали ромба равны 4 см и 20 см. Найдем сторону ромба.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам в точке пересечения. Обозначим половину первой диагонали d1/2 = 2 см, половину второй диагонали d2/2 = 10 см.

Сторона ромба a является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей.

a² = (d1/2)² + (d2/2)² = 2² + 10² = 4 + 100 = 104

a = √104 = √(4 * 26) = 2√26 см

Задание 6

Основания равнобокой трапеции равны 18 см и 30 см, а её боковая сторона – 2√34 см. Найдем диагональ трапеции.

Пусть ABCD – равнобокая трапеция, где AB = CD = 2√34 см, BC = 18 см, AD = 30 см.

Проведём высоты BH и CF. Тогда AH = FD = (AD - BC) / 2 = (30 - 18) / 2 = 6 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора: BH² = AB² - AH² = (2√34)² - 6² = 4 * 34 - 36 = 136 - 36 = 100

BH = √100 = 10 см

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHD. HD = AD - AH = 30 - 6 = 24 см.

BD² = BH² + HD² = 10² + 24² = 100 + 576 = 676

BD = √676 = 26 см

Задание 7

Найдем боковую сторону равнобокой трапеции, основания которой равны 7 см и 25 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.

Пусть ABCD – равнобокая трапеция, где BC = 7 см, AD = 25 см, AB = CD, AC ⊥ CD и BD ⊥ AB.

Проведём высоты BH и CF. Тогда AH = FD = (AD - BC) / 2 = (25 - 7) / 2 = 9 см.

Пусть боковая сторона AB = x. Тогда в прямоугольном треугольнике ABH: x² = BH² + AH²

Проведём диагональ AC. Рассмотрим треугольники ABC и DCB. Они равны (AB = CD, BC = BC, AC = BD). Следовательно, углы ACB = DBC.

Так как диагонали перпендикулярны боковым сторонам, то угол BAC = 90°.

Треугольник ABC – прямоугольный. BH – высота, проведённая к гипотенузе AC. Тогда BH² = AH * HD. HD = AD - AH = 25 - 9 = 16

Рассмотрим треугольник АВD, в нем высота ВН является средним пропорциональным отрезков АН и HD, тогда:

\[BH^2 = AH \cdot HD = 9 \cdot 16 = 144\] \[BH = \sqrt{144} = 12\]

Теперь найдем боковую сторону AB:

\[AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\]

Ответ: 15 см