Вариант 1 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°, ∠B = 60°, BC = 3√2. Най- дите АС. 2. Две стороны треугольника равны 7 см и 8 см, а угол между ними равен 120°. Найдите третью сторону треугольника. 3. Определите вид треугольника АВС, если А(3; 9), B(0; 6), C(4; 2). 4.* В треугольнике АВС АВ = BC, ∠CAB = 30°, АЕ – биссек- триса, ВЕ = 8 см. Найдите площадь треугольника АВС.

Вариант 1

1. В треугольнике ABC ∠A = 45°, ∠B = 60°, BC = 3√2. Найдите AC.

Давай решим эту задачу. Сначала найдем угол C, зная, что сумма углов в треугольнике равна 180°:

∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 45° - 60° = 75°

Теперь воспользуемся теоремой синусов для нахождения стороны AC:

\( \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} \)

Подставим известные значения:

\( \frac{AC}{\sin 60°} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin 45°} \)

Знаем, что \( \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Подставим эти значения:

\( \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \)

Упростим уравнение:

\( AC = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \)

\( AC = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \)

\( AC = 3\sqrt{3} \)

Ответ: AC = 3√3

---

2. Две стороны треугольника равны 7 см и 8 см, а угол между ними равен 120°. Найдите третью сторону треугольника.

Обозначим стороны треугольника как a = 7 см, b = 8 см, а угол между ними как γ = 120°. Третью сторону, которую нам нужно найти, обозначим как c. Используем теорему косинусов:

\( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos γ \)

Подставим известные значения:

\( c^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos 120° \)

Знаем, что \( \cos 120° = -\frac{1}{2} \). Подставим это значение:

\( c^2 = 49 + 64 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \)

\( c^2 = 49 + 64 + 56 \)

\( c^2 = 169 \)

Извлечем квадратный корень:

\( c = \sqrt{169} \)

\( c = 13 \)

Ответ: Третья сторона треугольника равна 13 см.

---

3. Определите вид треугольника АВС, если А(3; 9), B(0; 6), C(4; 2).

Чтобы определить вид треугольника, нам нужно знать длины его сторон. Найдем длины сторон AB, BC и AC, используя координаты вершин:

\( AB = \sqrt{(0 - 3)^2 + (6 - 9)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \)

\( BC = \sqrt{(4 - 0)^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \)

\( AC = \sqrt{(4 - 3)^2 + (2 - 9)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \)

Теперь проверим, выполняется ли теорема Пифагора для этого треугольника, чтобы определить, является ли он прямоугольным:

\( AB^2 + BC^2 = (3\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 = 18 + 32 = 50 \)

\( AC^2 = (5\sqrt{2})^2 = 50 \)

Так как \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \), треугольник ABC является прямоугольным.

Также заметим, что все стороны имеют разную длину, следовательно, треугольник разносторонний.

Ответ: Треугольник АВС - прямоугольный и разносторонний.

---

4.* В треугольнике АВС АВ = BC, ∠CAB = 30°, АЕ – биссектриса, ВЕ = 8 см. Найдите площадь треугольника АВС.

В треугольнике ABC, AB = BC, значит, треугольник ABC равнобедренный. Так как ∠CAB = 30°, то ∠BCA = 30° (углы при основании равнобедренного треугольника равны). Тогда ∠ABC = 180° - 30° - 30° = 120°.

AE - биссектриса угла CAB, следовательно, ∠BAE = ∠CAE = 30° / 2 = 15°.

Рассмотрим треугольник ABE. В нем ∠BAE = 15° и ∠ABE = 120°. Значит, ∠AEB = 180° - 15° - 120° = 45°.

По теореме синусов для треугольника ABE:

\( \frac{BE}{\sin ∠BAE} = \frac{AB}{\sin ∠AEB} \)

\( \frac{8}{\sin 15°} = \frac{AB}{\sin 45°} \)

Отсюда:

\( AB = \frac{8 \cdot \sin 45°}{\sin 15°} \)

\( \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \sin 15° = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \)

\( AB = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} = \frac{4\sqrt{2} \cdot 4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} \)

Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( \sqrt{6} + \sqrt{2} \):

\( AB = \frac{16\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{16\sqrt{12} + 16 \cdot 2}{6 - 2} = \frac{16 \cdot 2\sqrt{3} + 32}{4} = 8\sqrt{3} + 8 \)

Итак, \( AB = 8(\sqrt{3} + 1) \)

Площадь треугольника ABC можно найти по формуле:

\( S = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin ∠ABC \)

Так как AB = BC, то \( S = \frac{1}{2} AB^2 \cdot \sin 120° \)

\( S = \frac{1}{2} \cdot (8(\sqrt{3} + 1))^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( S = \frac{1}{2} \cdot 64 (3 + 2\sqrt{3} + 1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 32 (4 + 2\sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 16 (4 + 2\sqrt{3}) \sqrt{3} \)

\( S = 16 (4\sqrt{3} + 6) = 64\sqrt{3} + 96 \)

\( S = 96 + 64\sqrt{3} \) кв. см.

Ответ: Площадь треугольника АВС равна \( 96 + 64\sqrt{3} \) кв. см.