Вариант 2 (уровень 2) 1. Известно, что в треугольниках АВС и А1В1С1 ∠B = ∠B1, AB = AB, BC = В1С1. На сторонах АС и А1С1 отмечены точки D и D1, так, что AD = A1D1. Докажите, что ABDC = ABIDIC. 2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС медианы BD и СЕ, проведенные к боковым сторонам, пересекаются в точке М. Докажите, что прямые АМ и ВС перпендикулярны. 3. Начертите равнобедренный остроугольный треугольник MNK с основанием МК и острым углом N. С помощью циркуля и линейки проведите: а) медиану треугольника MNK к стороне MN; б) биссектрису треугольника MNK из угла К; в) высоту треугольника MNK из вершины М.

Привет! Разберём задачи по геометрии из твоего варианта.

1. Доказательство равенства треугольников

Смотри, тут всё просто:

1. По условию, у нас есть два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых ∠B = ∠B₁, AB = A₁B₁, BC = B₁C₁ и AD = A₁D₁.

2. Нам нужно доказать, что ΔBDC = ΔB₁D₁C₁.

3. Так как AB = A₁B₁ и BC = B₁C₁, то ΔABC = ΔA₁B₁C₁ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

4. Из равенства треугольников ABC и A₁B₁C₁ следует, что AC = A₁C₁.

5. Поскольку AD = A₁D₁, то DC = A₁C₁ - A₁D₁ = AC - AD = D₁C₁.

6. Теперь у нас есть, что BC = B₁C₁, DC = D₁C₁ и ∠C = ∠C₁ (так как ΔABC = ΔA₁B₁C₁).

7. Следовательно, ΔBDC = ΔB₁D₁C₁ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

2. Доказательство перпендикулярности прямых

Разбираемся:

1. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием BC. Медианы BD и CE проведены к боковым сторонам и пересекаются в точке M.

2. Так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = AC.

3. Медианы BD и CE, проведённые к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны, то есть BD = CE.

4. Рассмотрим треугольники ABD и ACE. У них AB = AC, AD = AE (так как BD = CE и AD = AB/2, AE = AC/2), и ∠A - общий угол.

5. Следовательно, ΔABD = ΔACE по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

6. Из равенства треугольников следует, что ∠ABD = ∠ACE.

7. Так как BD и CE - медианы, то точка M - точка пересечения медиан треугольника ABC. Значит, AM - тоже медиана.

8. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, также является высотой. Значит, AM ⊥ BC.

9. Следовательно, прямые AM и BC перпендикулярны.

3. Построение треугольника и его элементов

Логика такая:

1. Сначала начертим отрезок MK - основание треугольника MNK.

2. С помощью циркуля построим равнобедренный треугольник MNK с основанием MK и острым углом N. Для этого отложим равные отрезки MN и NK.

3. Теперь построим медиану треугольника MNK к стороне MN. Для этого найдём середину стороны MN и соединим её с вершиной K.

4. Далее построим биссектрису треугольника MNK из угла K. Для этого разделим угол K пополам с помощью циркуля и проведём линию от вершины K до стороны MN.

5. И наконец, построим высоту треугольника MNK из вершины M. Для этого проведём перпендикулярную линию от вершины M к стороне NK.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что построенный треугольник равнобедренный, угол N острый, медиана делит сторону MN пополам, биссектриса делит угол K пополам, а высота перпендикулярна стороне NK.

Доп. профит: Уровень Эксперт Геометрия - это круто! Регулярные упражнения помогут тебе развить пространственное мышление и логику. Не бойся трудностей, ведь каждая решённая задача - это шаг к новым знаниям!