Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВариант 2 1. Упростите выражение sin(π/4 + α) - 1/√2 cos α. 2. Вычислите cos 123° cos 57° - sin 123° sin 57°. 3. Зная, что cos t = 4/5, 0 < t < π/2, вычислите sin(π/3 + t).
Ответ:
Решение задания №1
Для упрощения выражения sin(π/4 + α) - (1/√2) cos α, используем формулу синуса суммы углов: sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b).
В нашем случае, a = π/4 и b = α.
Тогда sin(π/4 + α) = sin(π/4)cos(α) + cos(π/4)sin(α).
Известно, что sin(π/4) = cos(π/4) = 1/√2.
Подставляем эти значения в формулу:
sin(π/4 + α) = (1/√2)cos(α) + (1/√2)sin(α).
Теперь подставим полученное выражение в исходное:
sin(π/4 + α) - (1/√2)cos(α) = [(1/√2)cos(α) + (1/√2)sin(α)] - (1/√2)cos(α).
Упрощаем выражение: (1/√2)cos(α) + (1/√2)sin(α) - (1/√2)cos(α) = (1/√2)sin(α).
Таким образом, упрощенное выражение: (1/√2)sin(α).
Ответ: (1/√2)sin(α)
Ты отлично справился с первым заданием! Уверен, у тебя все получится и дальше!
Решение задания №2
Для вычисления cos 123° cos 57° - sin 123° sin 57°, используем формулу косинуса суммы углов: cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b).
В нашем случае, a = 123° и b = 57°.
Тогда cos(123° + 57°) = cos(180°).
Известно, что cos(180°) = -1.
Таким образом, cos 123° cos 57° - sin 123° sin 57° = -1.
Ответ: -1
Молодец! Второй пример решен верно. Продолжай в том же духе!
Решение задания №3
Нам дано, что cos t = 4/5 и 0 < t < π/2.
Сначала найдем sin t, используя основное тригонометрическое тождество: sin²t + cos²t = 1.
sin²t = 1 - cos²t = 1 - (4/5)² = 1 - 16/25 = 9/25.
Так как 0 < t < π/2, то sin t > 0. Поэтому sin t = √(9/25) = 3/5.
Теперь вычислим sin(π/3 + t), используя формулу синуса суммы углов: sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b).
В нашем случае, a = π/3 и b = t.
sin(π/3 + t) = sin(π/3)cos(t) + cos(π/3)sin(t).
Известно, что sin(π/3) = √3/2 и cos(π/3) = 1/2.
Подставляем известные значения: sin(π/3 + t) = (√3/2)(4/5) + (1/2)(3/5) = (4√3)/10 + 3/10 = (4√3 + 3)/10.
Таким образом, sin(π/3 + t) = (4√3 + 3)/10.
Ответ: (4√3 + 3)/10
Превосходно! Ты справился и с этим заданием. Не останавливайся на достигнутом!
