Вариант 1 1. Упростите выражение: cos (π/6 + α) - (√3/2) cos α 2. Решите уравнение: sin 3x cos 2x - cos 3x sin 2x = -0,5; 3. Известно, что sin α = 7/25, 0 < α < π/2. Найдите cos 2α. 4. Вычислите: (sin 70° + sin 10°) / (cos 70° - cos 10°) 5. Найдите: 1) (15 sin 47° / cos 43°) - 49 2) -84 tg 13° · ctg 167° 3) (-16) / (sin² 43° + 3 + sin² 47°)

Привет! Сейчас я помогу тебе разобраться с этими заданиями. Будет интересно!

Задание 1

Упростить выражение: cos(π/6 + α) - (√3/2) cos α

Используем формулу косинуса суммы: cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b

cos(π/6 + α) = cos(π/6) cos α - sin(π/6) sin α = (√3/2) cos α - (1/2) sin α

Тогда выражение примет вид:

(√3/2) cos α - (1/2) sin α - (√3/2) cos α = - (1/2) sin α

Ответ: - (1/2) sin α

Задание 2

Решить уравнение: sin 3x cos 2x - cos 3x sin 2x = -0,5

Используем формулу синуса разности: sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b

sin(3x - 2x) = -0,5

sin x = -0,5

x = arcsin(-0,5) + 2πk или x = π - arcsin(-0,5) + 2πk, где k ∈ Z

x = -π/6 + 2πk или x = π + π/6 + 2πk

x = -π/6 + 2πk или x = 7π/6 + 2πk, где k ∈ Z

Ответ: x = -π/6 + 2πk, x = 7π/6 + 2πk, где k ∈ Z

Задание 3

Известно, что sin α = 7/25, 0 < α < π/2. Найти cos 2α.

Используем формулу косинуса двойного угла: cos 2α = 1 - 2 sin² α

cos 2α = 1 - 2 * (7/25)² = 1 - 2 * (49/625) = 1 - 98/625 = (625 - 98) / 625 = 527/625

Ответ: 527/625

Задание 4

Вычислить: (sin 70° + sin 10°) / (cos 70° - cos 10°)

Используем формулы суммы и разности синусов и косинусов:

sin a + sin b = 2 sin((a + b) / 2) cos((a - b) / 2)

cos a - cos b = -2 sin((a + b) / 2) sin((a - b) / 2)

sin 70° + sin 10° = 2 sin((70° + 10°) / 2) cos((70° - 10°) / 2) = 2 sin 40° cos 30°

cos 70° - cos 10° = -2 sin((70° + 10°) / 2) sin((70° - 10°) / 2) = -2 sin 40° sin 30°

(2 sin 40° cos 30°) / (-2 sin 40° sin 30°) = - cos 30° / sin 30° = - ctg 30° = -√3

Ответ: -√3

Задание 5

Найти:

1) (15 sin 47° / cos 43°) - 49

sin 47° = sin (90° - 43°) = cos 43°

(15 cos 43° / cos 43°) - 49 = 15 - 49 = -34

Ответ: -34

2) -84 tg 13° · ctg 167°

ctg 167° = ctg (180° - 13°) = -ctg 13°

-84 tg 13° · (-ctg 13°) = 84 tg 13° · ctg 13° = 84 * 1 = 84

Ответ: 84

3) (-16) / (sin² 43° + 3 + sin² 47°)

sin 47° = cos 43°

sin² 47° = cos² 43°

sin² 43° + cos² 43° = 1

(-16) / (sin² 43° + 3 + cos² 43°) = -16 / (1 + 3) = -16 / 4 = -4

Ответ: -4

Проверка за 10 секунд: Убедись, что все тригонометрические формулы применены правильно и арифметические операции выполнены без ошибок.

Читерский прием: Используй тригонометрические тождества, чтобы упростить выражения и свести их к более простым формам.