Вариант №1. 1. Sin a-0,6, 0° <а < 90°. Найти cos a, tg a, ctg a. 2. Найти значение выражения: a) sin 30°-cos 45°; 6) cos 60°-sin 1500; B) 2 cos 30º cos 60º cos 90°. 3. В треугольнике АВС угол 2 А = 45°, a ∠B=30°, BC = 6. Найти АС. 4. Смежные стороны параллелограмма равны 5 см и 4 см, а угол между ними равен 60°. Найти диагонали параллелограмма и его площадь. 5. Выписать номера верных утверждений: 1) Если косинусы углов равны, то равны и сами углы. 2) Синус угла треугольника может быть отрицательным числом. 3) Синусы смежных углов равны. 4) Смежные углы равны. 5) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, Вариант №3. 1. Cos a=0,6, 0° <а <90°. Найти sin a, tg a, ctg a. 2. Найти значение выражения: а) cos 30º-sin 45°; 6) 2 cos 60°-2 sin 30°; в) 4 cos 120° sin 45º cos 180°. 3. В треугольнике АВС 4 С = 120°, а ∠B=45º, AB=4. Найти АС. 4. Смежные стороны параллелограмма равны 7 см и 23 см, а угол между ними равен 30°. Найти диагонали параллелограмма и его площадь. 5. Выписать номера верных утверждений: 1) Существует угол, синус и косинус которого равны. 2) Синус угла треугольника может быть равен 1. 3) Синус любого острого угла больше синуса любого тупого угла. 4) вертикальные углы равны. 5) Сумма углов при боковой стороне трапеции равна 180°.

Дано: \(\sin \alpha = 0.6, 0^\circ < \alpha < 90^\circ\). Найти \(\cos \alpha, \tan \alpha, \cot \alpha\).

Решение:

• \(\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - 0.6^2 = 1 - 0.36 = 0.64\)
• \(\cos \alpha = \sqrt{0.64} = 0.8\)
• \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{0.6}{0.8} = 0.75\)
• \(\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{0.75} = \frac{4}{3} \approx 1.33\)

Ответ: \(\cos \alpha = 0.8, \tan \alpha = 0.75, \cot \alpha \approx 1.33\)

Найти значение выражения:

1. \(\sin 30^\circ - \cos 45^\circ = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1 - \sqrt{2}}{2} \approx -0.207\)
2. \(\cos 60^\circ - \sin 150^\circ = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0\)
3. \(2 \cos 30^\circ \cdot \cos 60^\circ \cdot \cos 90^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 0 = 0\)

В треугольнике ABC угол \(\angle A = 45^\circ, \angle B = 30^\circ, BC = 6\). Найти AC.

По теореме синусов: \(\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}\)

\(AC = \frac{BC \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{6 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{6 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \approx 4.24\)

Смежные стороны параллелограмма равны 5 см и 4 см, угол между ними равен 60°. Найти диагонали параллелограмма и его площадь.

Пусть стороны параллелограмма a = 5 см, b = 4 см, угол между ними \(\gamma = 60^\circ\).

Площадь: \(S = a \cdot b \cdot \sin \gamma = 5 \cdot 4 \cdot \sin 60^\circ = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \approx 17.32 \text{ см}^2\)

Диагонали:

• \(d_1 = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos \gamma} = \sqrt{5^2 + 4^2 + 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ} = \sqrt{25 + 16 + 40 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{41 + 20} = \sqrt{61} \approx 7.81 \text{ см}\)
• \(d_2 = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma} = \sqrt{5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ} = \sqrt{25 + 16 - 40 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{41 - 20} = \sqrt{21} \approx 4.58 \text{ см}\)

Выписать номера верных утверждений:

1. Если косинусы углов равны, то равны и сами углы. - Верно
2. Синус угла треугольника может быть отрицательным числом. - Неверно
3. Синусы смежных углов равны. - Неверно
4. Смежные углы равны. - Неверно
5. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. - Верно

Ответ: 1, 5

Дано: \(\cos \alpha = 0.6, 0^\circ < \alpha < 90^\circ\). Найти \(\sin \alpha, \tan \alpha, \cot \alpha\).

Решение:

• \(\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - 0.6^2 = 1 - 0.36 = 0.64\)
• \(\sin \alpha = \sqrt{0.64} = 0.8\)
• \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{0.8}{0.6} = \frac{4}{3} \approx 1.33\)
• \(\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4} = 0.75\)

Ответ: \(\sin \alpha = 0.8, \tan \alpha \approx 1.33, \cot \alpha = 0.75\)

Найти значение выражения:

1. \(\cos 30^\circ - \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2} \approx 0.159\)
2. \(2 \cos 60^\circ - 2 \sin 30^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 - 1 = 0\)
3. \(4 \cos 120^\circ \cdot \sin 45^\circ \cdot \cos 180^\circ = 4 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-1) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \approx 1.41\)

В треугольнике ABC \(\angle C = 120^\circ, \angle B = 45^\circ, AB = 4\). Найти AC.

Угол \(\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 120^\circ = 15^\circ\)

По теореме синусов: \(\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}\)

\(AC = \frac{AB \cdot \sin B}{\sin C} = \frac{4 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 120^\circ} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{3} \approx 3.27\)

Смежные стороны параллелограмма равны 7 см и \(2\sqrt{3}\) см, а угол между ними равен 30°. Найти диагонали параллелограмма и его площадь.

Пусть стороны параллелограмма a = 7 см, b = \(2\sqrt{3}\) см, угол между ними \(\gamma = 30^\circ\).

Площадь: \(S = a \cdot b \cdot \sin \gamma = 7 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sin 30^\circ = 14\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 7\sqrt{3} \approx 12.12 \text{ см}^2\)

Диагонали:

• \(d_1 = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos \gamma} = \sqrt{7^2 + (2\sqrt{3})^2 + 2 \cdot 7 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ} = \sqrt{49 + 12 + 28\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{61 + 28 \cdot \frac{3}{2}} = \sqrt{61 + 42} = \sqrt{103} \approx 10.15 \text{ см}\)
• \(d_2 = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma} = \sqrt{7^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 7 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ} = \sqrt{49 + 12 - 28\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{61 - 28 \cdot \frac{3}{2}} = \sqrt{61 - 42} = \sqrt{19} \approx 4.36 \text{ см}\)

Выписать номера верных утверждений:

1. Существует угол, синус и косинус которого равны. - Верно
2. Синус угла треугольника может быть равен 1. - Верно
3. Синус любого острого угла больше синуса любого тупого угла. - Неверно
4. Вертикальные углы равны. - Верно
5. Сумма углов при боковой стороне трапеции равна 180°. - Верно

Ответ: 1, 2, 4, 5