Вариант 3 1. Решите уравнение: x² 4x+5 a) x²-1 x²-1: 5 8 б) x-3 x = 3. 2. Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по дороге длиной 48 км, обратно он возвращался по другой дороге, которая короче первой на 8 км. Увеличив на обратном пути скорость на 4 км/ч. велосипедист затратил на 1 час меньше, чем на путь из А В В.С какой скоростью ехал велосипедист из пункта А в пункт В? 1. Решите уравнение: Вариант 4 5x+14 x² a) x²-4 x²-4. 8 10 б) x-3 x = 2. 2. Катер прошёл 15 км против течения и 6 км по течению, затратив на весь путь столько же времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шёл 22 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 2 км/ч?

Вариант 3

1. Решите уравнение:

а) \[\frac{x^2}{x^2-1} = \frac{4x+5}{x^2-1}\]

ОДЗ: \(x^2 - 1
eq 0\), значит, \(x
eq \pm 1\)

\[x^2 = 4x + 5\]

\[x^2 - 4x - 5 = 0\]

По теореме Виета:

\[x_1 + x_2 = 4\]

\[x_1 \cdot x_2 = -5\]

\[x_1 = 5, x_2 = -1\]

Но \(x
eq -1\), значит, корень только \(x = 5\)

б) \[\frac{5}{x-3} - \frac{8}{x} = 3\]

ОДЗ: \(x
eq 3, x
eq 0\)

\[\frac{5x - 8(x-3)}{x(x-3)} = 3\]

\[5x - 8x + 24 = 3x(x-3)\]

\[-3x + 24 = 3x^2 - 9x\]

\[3x^2 - 6x - 24 = 0\]

\[x^2 - 2x - 8 = 0\]

По теореме Виета:

\[x_1 + x_2 = 2\]

\[x_1 \cdot x_2 = -8\]

\[x_1 = 4, x_2 = -2\]

Оба корня подходят по ОДЗ.

2. Задача про велосипедиста

Пусть \(x\) км/ч - скорость велосипедиста из пункта А в пункт В.

Тогда \(48/x\) - время, затраченное на путь из А в В.

Расстояние обратно \(48-8 = 40\) км.

Скорость на обратном пути \(x+4\) км/ч.

Время на обратном пути \(40/(x+4)\) ч.

Известно, что на обратный путь велосипедист затратил на 1 час меньше, чем на путь из А в В. Составим уравнение:

\[\frac{48}{x} - \frac{40}{x+4} = 1\]

\[\frac{48(x+4) - 40x}{x(x+4)} = 1\]

\[48x + 192 - 40x = x^2 + 4x\]

\[x^2 - 4x - 192 = 0\]

По теореме Виета:

\[x_1 + x_2 = 4\]

\[x_1 \cdot x_2 = -192\]

\[x_1 = 16, x_2 = -12\]

Т.к. скорость не может быть отрицательной, то \(x = 16\)

Ответ: 16 км/ч

Вариант 4

1. Решите уравнение:

а) \[\frac{5x+14}{x^2-4} = \frac{x^2}{x^2-4}\]

ОДЗ: \(x^2 - 4
eq 0\), значит, \(x
eq \pm 2\)

\[5x + 14 = x^2\]

\[x^2 - 5x - 14 = 0\]

По теореме Виета:

\[x_1 + x_2 = 5\]

\[x_1 \cdot x_2 = -14\]

\[x_1 = 7, x_2 = -2\]

Но \(x
eq -2\), значит, корень только \(x = 7\)

б) \[\frac{8}{x-3} - \frac{10}{x} = 2\]

ОДЗ: \(x
eq 3, x
eq 0\)

\[\frac{8x - 10(x-3)}{x(x-3)} = 2\]

\[8x - 10x + 30 = 2x(x-3)\]

\[-2x + 30 = 2x^2 - 6x\]

\[2x^2 - 4x - 30 = 0\]

\[x^2 - 2x - 15 = 0\]

По теореме Виета:

\[x_1 + x_2 = 2\]

\[x_1 \cdot x_2 = -15\]

\[x_1 = 5, x_2 = -3\]

Оба корня подходят по ОДЗ.

2. Задача про катер

Пусть \(x\) км/ч - собственная скорость катера.

Тогда скорость против течения \(x-2\) км/ч, а по течению \(x+2\) км/ч.

Время против течения \(15/(x-2)\) ч, а время по течению \(6/(x+2)\) ч.

Время по озеру \(22/x\) ч.

Известно, что время, затраченное на путь против течения и по течению, равно времени по озеру. Составим уравнение:

\[\frac{15}{x-2} + \frac{6}{x+2} = \frac{22}{x}\]

\[\frac{15(x+2) + 6(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{22}{x}\]

\[(15x+30 + 6x-12)x = 22(x^2 - 4)\]

\[(21x+18)x = 22x^2 - 88\]

\[21x^2 + 18x = 22x^2 - 88\]

\[x^2 - 18x - 88 = 0\]

По теореме Виета:

\[x_1 + x_2 = 18\]

\[x_1 \cdot x_2 = -88\]

\[x_1 = 22, x_2 = -4\]

Т.к. скорость не может быть отрицательной, то \(x = 22\)

Ответ: 22 км/ч

Ответ: Вариант 3: 1. а) x = 5, б) x = 4, x = -2, 2. 16 км/ч. Вариант 4: 1. а) x = 7, б) x = 5, x = -3, 2. 22 км/ч