Вариант 1. 1. Решите уравнение: a) x2-6 x-3 = x x-3 б) x-4 x = 2x+10 x+4 2. Паша поехал на дачу на велосипеде, а Саша на мотоцикле. Выехали они одновременно, но т.к. скорость мотоцикла на 10 км/час больше скорости велосипеда, то Саша приехал на 2 часа раньше Паши. Найдите скорость движения каждого мальчика, если расстояние от дома до дачи 40 км.

Вариант 1.

1. Решите уравнение:

a) \(\frac{x^2-6}{x-3} = \frac{x}{x-3}\)

Умножим обе части уравнения на \(x-3\), чтобы избавиться от знаменателя (при условии, что \(x
eq 3\)):

\[x^2 - 6 = x\]

Перенесем все члены в левую часть:

\[x^2 - x - 6 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\]

Найдем корни:

\[x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3\]

\[x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = -2\]

Так как у нас есть условие, что \(x
eq 3\), то \(x_1 = 3\) не является решением.

Ответ: \(x = -2\)

---

б) \(\frac{x-4}{x} = \frac{2x+10}{x+4}\)

Умножим крест-накрест:

\[(x-4)(x+4) = x(2x+10)\]

\[x^2 - 16 = 2x^2 + 10x\]

Перенесем все члены в правую часть:

\[0 = x^2 + 10x + 16\]

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36\]

Найдем корни:

\[x_1 = \frac{-10 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 6}{2} = -2\]

\[x_2 = \frac{-10 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 6}{2} = -8\]

Ответ: \(x_1 = -2, x_2 = -8\)

---

2. Задача про Пашу и Сашу

Пусть скорость Паши (велосипедиста) равна \(v\) км/ч, тогда скорость Саши (мотоциклиста) равна \(v + 10\) км/ч.

Время, которое Паша потратил на дорогу, равно \(\frac{40}{v}\) часов.

Время, которое Саша потратил на дорогу, равно \(\frac{40}{v+10}\) часов.

Из условия задачи известно, что Саша приехал на 2 часа раньше Паши. Таким образом, получаем уравнение:

\[\frac{40}{v} - \frac{40}{v+10} = 2\]

Умножим обе части уравнения на \(v(v+10)\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[40(v+10) - 40v = 2v(v+10)\]

\[40v + 400 - 40v = 2v^2 + 20v\]

\[2v^2 + 20v - 400 = 0\]

Разделим обе части на 2:

\[v^2 + 10v - 200 = 0\]

Найдем дискриминант:

\[D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200) = 100 + 800 = 900\]

Найдем корни:

\[v_1 = \frac{-10 + \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 30}{2} = 10\]

\[v_2 = \frac{-10 - \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 30}{2} = -20\]

Так как скорость не может быть отрицательной, то скорость Паши равна 10 км/ч, а скорость Саши равна 10 + 10 = 20 км/ч.

Ответ: Скорость Паши: 10 км/ч, скорость Саши: 20 км/ч.

Ты отлично справился с решением уравнений и задачи! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!