Вариант 1 1. Решите систему уравнений: { 2x + y = 7, x² - у = 1. 2. Периметр прямоугольника равен 28м, а его площадь равна 40 м². Найдите стороны прямоугольника. 3. Решите систему уравнений графически: y = -x² + 4, (x+y = 4. 2+1=2 4. Решите систему уравнений: { y 2' 3x - y = 3. 5. Два экскаватора вырыли котлован за 24 часа. Первый экскаватор может выполнить эту работу в 1,5 раза быстрее, чем второй. За сколько часов первый экскаватор может вырыть котлован?

Задание 1. Решить систему уравнений:

\[ \begin{cases} 2x + y = 7, \\ x^2 - y = 1. \end{cases} \] Выразим y из первого уравнения: \( y = 7 - 2x \). Подставим это выражение во второе уравнение: \[ x^2 - (7 - 2x) = 1 \\ x^2 + 2x - 7 - 1 = 0 \\ x^2 + 2x - 8 = 0 \] Решим квадратное уравнение \( x^2 + 2x - 8 = 0 \). Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \). Тогда корни: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \\ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \] Найдем соответствующие значения y: Если \( x_1 = 2 \), то \( y_1 = 7 - 2 \cdot 2 = 7 - 4 = 3 \). Если \( x_2 = -4 \), то \( y_2 = 7 - 2 \cdot (-4) = 7 + 8 = 15 \). Ответ: (2; 3), (-4; 15)

Задание 2. Периметр прямоугольника равен 28 м, а его площадь равна 40 м². Найти стороны прямоугольника.

Пусть a и b - стороны прямоугольника. Тогда периметр P и площадь S выражаются формулами: \[ P = 2(a + b) \\ S = a \cdot b \] У нас есть: \[ 2(a + b) = 28 \\ a \cdot b = 40 \] Из первого уравнения выразим \( a + b = 14 \), тогда \( b = 14 - a \). Подставим во второе уравнение: \[ a(14 - a) = 40 \\ 14a - a^2 = 40 \\ a^2 - 14a + 40 = 0 \] Решим квадратное уравнение \( a^2 - 14a + 40 = 0 \). Дискриминант \( D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 196 - 160 = 36 \). Тогда корни: \[ a_1 = \frac{14 + \sqrt{36}}{2} = \frac{14 + 6}{2} = \frac{20}{2} = 10 \\ a_2 = \frac{14 - \sqrt{36}}{2} = \frac{14 - 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] Если \( a_1 = 10 \), то \( b_1 = 14 - 10 = 4 \). Если \( a_2 = 4 \), то \( b_2 = 14 - 4 = 10 \). Ответ: 10 м, 4 м

Задание 3. Решить систему уравнений графически:

\[ \begin{cases} y = -x^2 + 4, \\ x + y = 4. \end{cases} \] Выразим y из второго уравнения: \( y = 4 - x \). Теперь у нас есть два уравнения: \[ y = -x^2 + 4 \\ y = 4 - x \] Графиком первого уравнения является парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке (0; 4). Графиком второго уравнения является прямая линия, проходящая через точки (0; 4) и (4; 0). Чтобы найти точки пересечения, приравняем правые части уравнений: \[ -x^2 + 4 = 4 - x \\ -x^2 + x = 0 \\ x^2 - x = 0 \\ x(x - 1) = 0 \] Тогда \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 1 \). Если \( x_1 = 0 \), то \( y_1 = 4 - 0 = 4 \). Если \( x_2 = 1 \), то \( y_2 = 4 - 1 = 3 \). Точки пересечения: (0; 4) и (1; 3). Ответ: (0; 4), (1; 3)

Задание 4. Решить систему уравнений:

\[ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}, \\ 3x - y = 3. \end{cases} \] Выразим y из второго уравнения: \( y = 3x - 3 \). Подставим это выражение в первое уравнение: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{3x - 3} = \frac{1}{2} \\ \frac{3x - 3 + x}{x(3x - 3)} = \frac{1}{2} \\ \frac{4x - 3}{3x^2 - 3x} = \frac{1}{2} \\ 2(4x - 3) = 3x^2 - 3x \\ 8x - 6 = 3x^2 - 3x \\ 3x^2 - 11x + 6 = 0 \] Решим квадратное уравнение \( 3x^2 - 11x + 6 = 0 \). Дискриминант \( D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 121 - 72 = 49 \). Тогда корни: \[ x_1 = \frac{11 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{11 + 7}{6} = \frac{18}{6} = 3 \\ x_2 = \frac{11 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{11 - 7}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] Найдем соответствующие значения y: Если \( x_1 = 3 \), то \( y_1 = 3 \cdot 3 - 3 = 9 - 3 = 6 \). Если \( x_2 = \frac{2}{3} \), то \( y_2 = 3 \cdot \frac{2}{3} - 3 = 2 - 3 = -1 \). Ответ: (3; 6), (2/3; -1)

Задание 5. Два экскаватора вырыли котлован за 24 часа. Первый экскаватор может выполнить эту работу в 1,5 раза быстрее, чем второй. За сколько часов первый экскаватор может вырыть котлован?

Пусть \( t_1 \) - время, за которое первый экскаватор выроет котлован, а \( t_2 \) - время, за которое второй экскаватор выроет котлован. Тогда \( t_2 = 1.5 t_1 \). Пусть V - объем котлована. Тогда производительность первого экскаватора \( P_1 = \frac{V}{t_1} \), а производительность второго экскаватора \( P_2 = \frac{V}{t_2} = \frac{V}{1.5 t_1} \). Вместе они вырыли котлован за 24 часа, значит, их общая производительность: \[ P_{общая} = \frac{V}{24} \] Тогда \( P_1 + P_2 = P_{общая} \): \[ \frac{V}{t_1} + \frac{V}{1.5 t_1} = \frac{V}{24} \\ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{1.5 t_1} = \frac{1}{24} \\ \frac{1}{t_1} + \frac{2}{3 t_1} = \frac{1}{24} \\ \frac{3 + 2}{3 t_1} = \frac{1}{24} \\ \frac{5}{3 t_1} = \frac{1}{24} \\ 3 t_1 = 5 \cdot 24 \\ t_1 = \frac{5 \cdot 24}{3} = 5 \cdot 8 = 40 \] Ответ: 40 часов

Ответ: смотри выше

Молодец! Ты отлично справился с решением задач. Продолжай в том же духе, и у тебя обязательно все получится!