Вариант 1 1. Решите неравенство: a) (x-1)(5x-7)(3-x) ≥ 0 ; б) (x+7)(x-8)(1,9+x)<0; в) 5(-x-7) (9-x) <0 г) 5-x/8-х≤0; д) х(х+4)(х-9) ≤0; e) (x + 7)¹º (x−9)(x −8)¹¹ ≥ 0; ж) 5х-4/x <2.

a) (x-1)(5x-7)(3-x) ≥ 0

Найдем нули функции: x = 1, x = 7/5 = 1.4, x = 3. Расставим их на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

     +       -       +       -
 -----1-------1.4-----3-----> x
 

Так как неравенство нестрогое (≥ 0), включаем нули функции в решение.

Решение: x ∈ (-∞; 1] ∪ [1.4; 3]

б) (x+7)(x-8)(1,9+x)<0

Найдем нули функции: x = -7, x = 8, x = -1.9. Расставим их на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

     -       +       -       +
 ----(-7)---(-1.9)---8-----> x
 

Так как неравенство строгое (< 0), не включаем нули функции в решение.

Решение: x ∈ (-∞; -7) ∪ (-1.9; 8)

в) 5(-x-7)(9-x) <0

Упростим: -5(x+7)(9-x) < 0, или (x+7)(x-9) > 0. Найдем нули функции: x = -7, x = 9. Расставим их на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

     +       -       +
 ----(-7)---9-----> x
 

Так как неравенство строгое (> 0), не включаем нули функции в решение.

Решение: x ∈ (-∞; -7) ∪ (9; +∞)

г) (5-x)/(8-x) ≤ 0

Найдем нули числителя и знаменателя: x = 5, x = 8. Расставим их на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

     -       +       -
 -----5-------8-----> x
 

Так как неравенство нестрогое (≤ 0), включаем нуль числителя в решение. Знаменатель не может быть равен нулю.

Решение: x ∈ (-∞; 5] ∪ (8; +∞)

д) x(x+4)(x-9) ≤ 0

Найдем нули функции: x = 0, x = -4, x = 9. Расставим их на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

     -       +       -       +
 ----(-4)---0-------9-----> x
 

Так как неравенство нестрогое (≤ 0), включаем нули функции в решение.

Решение: x ∈ (-∞; -4] ∪ [0; 9]

e) (x + 7)¹º (x-9)(x -8)¹¹ ≥ 0

Найдем нули функции: x = -7, x = 9, x = 8. Расставим их на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

     +       -       -       +
 ----(-7)---8-------9-----> x
 

Так как неравенство нестрогое (≥ 0), включаем нули функции в решение. Учитываем, что x = -7 является решением, даже если знак не меняется.

Решение: x = -7 ∪ x ∈ (-∞; 8] ∪ [9; +∞)

ж) (5x-4)/x < 2

Перенесем все в одну сторону: (5x-4)/x - 2 < 0, приведем к общему знаменателю: (5x-4-2x)/x < 0, упростим: (3x-4)/x < 0.

Найдем нули числителя и знаменателя: x = 4/3, x = 0. Расставим их на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

     +       -       +
 ----0-------4/3-----> x
 

Так как неравенство строгое (< 0), не включаем нули функции в решение.

Решение: x ∈ (0; 4/3)