Вариант 1 1. Разложите на множители: a) 3x²+x³; 6) 16x²-4; в) 2x+6+x²+3x. 2. Решите уравнение: 2x²+3x = 0. 3. Сократите дробь: 5ab²/abc. 4. Докажите тождество: (a+b)²-2ab+a²-b²=a⋅2a. 5. Решите уравнение: х³+2x²-4x-8 = 0. Вариант 2 1. Разложите на множители: a) x³+x⁴; б) 2a²-8; в) х²+x+2x+2. 2. Решите уравнение: 3x²-x = 0. 3. Сократите дробь: 2ab²c²/b²c 4. Докажите тождество: (a−b)²-2ab+2a²-b²=a(3a-4b). 5. Решите уравнение: 2x³+x²-8x-4 = 0.

Вариант 1

1. Разложите на множители:

a) \( 3x^2 + x^3 \)

Выносим общий множитель \( x^2 \) за скобки:

\[ x^2(3 + x) \]

б) \( 16x^2 - 4 \)

Используем формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \). В данном случае \( a = 4x \) и \( b = 2 \):

\[ (4x - 2)(4x + 2) \]

в) \( 2x + 6 + x^2 + 3x \)

Сначала перегруппируем и приведем подобные слагаемые:

\[ x^2 + 5x + 6 \]

Теперь попробуем разложить квадратный трехчлен \( x^2 + 5x + 6 \) на множители. Для этого найдем корни уравнения \( x^2 + 5x + 6 = 0 \). Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета, сумма корней равна -5, а произведение равно 6. Тогда корни \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = -3 \).

Следовательно, разложение на множители будет:

\[ (x + 2)(x + 3) \]

2. Решите уравнение: \( 2x^2 + 3x = 0 \)

Выносим \( x \) за скобки:

\[ x(2x + 3) = 0 \]

Тогда либо \( x = 0 \), либо \( 2x + 3 = 0 \).

Решаем второе уравнение:

\[ 2x = -3 \]

\[ x = -\frac{3}{2} \]

Ответ: \( x = 0 \) или \( x = -1.5 \)

3. Сократите дробь: \( \frac{5ab^2}{abc} \)

\[ \frac{5ab^2}{abc} = \frac{5b}{c} \]

4. Докажите тождество: \( (a+b)^2 - 2ab + a^2 - b^2 = a \cdot 2a \)

Раскрываем скобки в левой части:

\[ a^2 + 2ab + b^2 - 2ab + a^2 - b^2 \]

Приводим подобные слагаемые:

\[ a^2 + a^2 + 2ab - 2ab + b^2 - b^2 = 2a^2 \]

Правая часть: \( a \cdot 2a = 2a^2 \)

Так как левая часть равна правой части, тождество доказано.

5. Решите уравнение: \( x^3 + 2x^2 - 4x - 8 = 0 \)

Группируем первые два члена и последние два члена:

\[ (x^3 + 2x^2) + (-4x - 8) = 0 \]

Выносим общий множитель из каждой группы:

\[ x^2(x + 2) - 4(x + 2) = 0 \]

Теперь выносим \( (x + 2) \) за скобки:

\[ (x + 2)(x^2 - 4) = 0 \]

Используем формулу разности квадратов: \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \)

\[ (x + 2)(x - 2)(x + 2) = 0 \]

Получаем корни:

\[ x = -2, x = 2 \]

Вариант 2

1. Разложите на множители:

а) \( x^3 + x^4 \)

Выносим общий множитель \( x^3 \) за скобки:

\[ x^3(1 + x) \]

б) \( 2a^2 - 8 \)

Выносим общий множитель 2 за скобки:

\[ 2(a^2 - 4) \]

Используем формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \). В данном случае \( a = a \) и \( b = 2 \):

\[ 2(a - 2)(a + 2) \]

в) \( x^2 + x + 2x + 2 \)

Сгруппируем и вынесем общие множители:

\[ (x^2 + x) + (2x + 2) \]

\[ x(x + 1) + 2(x + 1) \]

Теперь выносим \( (x + 1) \) за скобки:

\[ (x + 1)(x + 2) \]

2. Решите уравнение: \( 3x^2 - x = 0 \)

Выносим \( x \) за скобки:

\[ x(3x - 1) = 0 \]

Тогда либо \( x = 0 \), либо \( 3x - 1 = 0 \).

Решаем второе уравнение:

\[ 3x = 1 \]

\[ x = \frac{1}{3} \]

Ответ: \( x = 0 \) или \( x = \frac{1}{3} \)

3. Сократите дробь: \( \frac{2ab^2c^2}{b^2c} \)

\[ \frac{2ab^2c^2}{b^2c} = 2ac \]

4. Докажите тождество: \( (a-b)^2 - 2ab + 2a^2 - b^2 = a(3a - 4b) \)

Раскрываем скобки в левой части:

\[ a^2 - 2ab + b^2 - 2ab + 2a^2 - b^2 \]

Приводим подобные слагаемые:

\[ a^2 + 2a^2 - 2ab - 2ab + b^2 - b^2 = 3a^2 - 4ab \]

Раскрываем скобки в правой части:

\[ a(3a - 4b) = 3a^2 - 4ab \]

Так как левая часть равна правой части, тождество доказано.

5. Решите уравнение: \( 2x^3 + x^2 - 8x - 4 = 0 \)

Группируем первые два члена и последние два члена:

\[ (2x^3 + x^2) + (-8x - 4) = 0 \]

Выносим общий множитель из каждой группы:

\[ x^2(2x + 1) - 4(2x + 1) = 0 \]

Теперь выносим \( (2x + 1) \) за скобки:

\[ (2x + 1)(x^2 - 4) = 0 \]

Используем формулу разности квадратов: \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \)

\[ (2x + 1)(x - 2)(x + 2) = 0 \]

Получаем корни:

\[ x = -\frac{1}{2}, x = 2, x = -2 \]

Ответ: Решения выше.

Молодец, ты отлично справился с заданиями! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!