Вариант 1 1. Разложите на множители квадратный трёхчлен: 1) x²-2x-24; 2) 3x² + 14x-5. 2. Решите уравнение: x²+7x8 = 1) x⁴ + 2x² - 8 = 0; 2) x+8 x+8 3. Сократите дробь 2a²+9a-5 a²-25 3 41 4. Решите уравнение х²+4x+4 х²-4 x-2 5. Теплоход прошёл 72 км против течения реки и 56 км по течению, затратив на путь против течения на 1 ч больше, чем на путь по течению. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки составляет 2 км/ч. y= 6. Постройте график функции x²+4x-5 x-1

Задание 1. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

1) x² - 2x - 24

Давай разложим квадратный трехчлен на множители. Сначала найдем корни уравнения x² - 2x - 24 = 0. Для этого воспользуемся дискриминантом:

\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 \]

Так как D > 0, у нас два корня:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 10}{2} = 6 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 10}{2} = -4 \]

Теперь мы можем разложить квадратный трехчлен на множители:

\[ x^2 - 2x - 24 = (x - x_1)(x - x_2) = (x - 6)(x + 4) \]

Ответ: (x - 6)(x + 4)

2) 3x² + 14x - 5

Снова найдем корни уравнения 3x² + 14x - 5 = 0. Используем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256 \]

Так как D > 0, у нас два корня:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 + \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 + 16}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 - \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 - 16}{6} = \frac{-30}{6} = -5 \]

Теперь мы можем разложить квадратный трехчлен на множители:

\[ 3x^2 + 14x - 5 = 3(x - x_1)(x - x_2) = 3(x - \frac{1}{3})(x + 5) = (3x - 1)(x + 5) \]

Ответ: (3x - 1)(x + 5)

Задание 2. Решите уравнение:

1) x⁴ + 2x² - 8 = 0

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену: y = x². Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 + 2y - 8 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \]

Так как D > 0, у нас два корня:

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]

Теперь вернемся к замене x² = y:

1) x² = 2

\[ x = \pm \sqrt{2} \]

2) x² = -4

Так как квадрат числа не может быть отрицательным, это уравнение не имеет решений.

Ответ: x = \(\pm \sqrt{2}\)

2) \[ \frac{x^2 + 7x}{x+8} = \frac{8}{x+8} \]

Умножим обе части уравнения на (x + 8), предполагая, что x ≠ -8:

\[ x^2 + 7x = 8 \]

\[ x^2 + 7x - 8 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81 \]

Так как D > 0, у нас два корня:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 9}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 9}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \]

Однако, мы предположили, что x ≠ -8, поэтому x = -8 не является решением.

Ответ: x = 1

Задание 3. Сократите дробь

\[ \frac{2a^2 + 9a - 5}{a^2 - 25} \]

Разложим числитель на множители. Решим уравнение 2a² + 9a - 5 = 0. Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121 \]

Так как D > 0, у нас два корня:

\[ a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 + 11}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

\[ a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 - 11}{4} = \frac{-20}{4} = -5 \]

Тогда числитель можно представить как:

\[ 2a^2 + 9a - 5 = 2(a - \frac{1}{2})(a + 5) = (2a - 1)(a + 5) \]

Знаменатель можно разложить как разность квадратов:

\[ a^2 - 25 = (a - 5)(a + 5) \]

Теперь дробь можно записать так:

\[ \frac{2a^2 + 9a - 5}{a^2 - 25} = \frac{(2a - 1)(a + 5)}{(a - 5)(a + 5)} \]

Сократим (a + 5) в числителе и знаменателе (при условии, что a ≠ -5):

\[ \frac{2a - 1}{a - 5} \]

Ответ: \[\frac{2a - 1}{a - 5}\]

Задание 4. Решите уравнение

\[\frac{3}{x^2 + 4x + 4} + \frac{4}{x^2 - 4} = \frac{1}{x - 2}\]

Разложим знаменатели на множители:

\[\frac{3}{(x + 2)^2} + \frac{4}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{1}{x - 2}\]

Приведем к общему знаменателю (x + 2)²(x - 2):

\[\frac{3(x - 2) + 4(x + 2)}{(x + 2)^2(x - 2)} = \frac{(x + 2)^2}{(x + 2)^2(x - 2)}\]

\[3x - 6 + 4x + 8 = (x + 2)^2\]

\[7x + 2 = x^2 + 4x + 4\]

\[x^2 - 3x + 2 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1\]

\[x_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2\]

\[x_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1\]

Проверим корни. x = 2 не подходит, так как обращает знаменатели исходного уравнения в ноль. x = 1 подходит.

Ответ: x = 1

Задание 5. Задача про теплоход

Пусть x - собственная скорость теплохода.

Тогда скорость по течению: x + 2

Тогда скорость против течения: x - 2

Время против течения: 72 / (x - 2)

Время по течению: 56 / (x + 2)

Разница во времени: 1 час

Составим уравнение:

\[ \frac{72}{x - 2} - \frac{56}{x + 2} = 1 \]

\[ 72(x + 2) - 56(x - 2) = (x - 2)(x + 2) \]

\[ 72x + 144 - 56x + 112 = x^2 - 4 \]

\[ 16x + 256 = x^2 - 4 \]

\[ x^2 - 16x - 260 = 0 \]

\[ D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-260) = 256 + 1040 = 1296 \]

\[ x_1 = \frac{16 + \sqrt{1296}}{2} = \frac{16 + 36}{2} = \frac{52}{2} = 26 \]

\[ x_2 = \frac{16 - \sqrt{1296}}{2} = \frac{16 - 36}{2} = \frac{-20}{2} = -10 \]

Так как скорость не может быть отрицательной, x = 26

Ответ: Собственная скорость теплохода составляет 26 км/ч.

Задание 6. Постройте график функции

\[ y = \frac{x^2 + 4x - 5}{x - 1} \]

Разложим числитель на множители:

\[ x^2 + 4x - 5 = (x - 1)(x + 5) \]

Тогда функция примет вид:

\[ y = \frac{(x - 1)(x + 5)}{x - 1} \]

При x ≠ 1, можно сократить (x - 1):

\[ y = x + 5 \]

График функции - прямая y = x + 5 с выколотой точкой при x = 1. В точке x = 1, y = 1 + 5 = 6.

График – прямая y = x + 5, где точка (1; 6) является выколотой.

Ответ: График функции y = x + 5 с выколотой точкой (1; 6)

Ты отлично поработал! Уверен, теперь ты лучше разбираешься в этих темах. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!