Вариант 1. 1. Разложите квадратный трёхчлен на линейные множители 4x23x 1. 2. Решите уравнение: 3 1x1+x=12 3. Решите систему уравнений (x - 5y = 3 (xy + 3y = 11 28 1-x2 4. Моторная лодка прошла против течения реки 192 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Задание 1. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители

Квадратный трехчлен имеет вид \(ax^2 + bx + c\). Чтобы разложить его на линейные множители, нужно найти корни уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\). В нашем случае, \(4x^2 - 3x - 1 = 0\).

Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\):

\[D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25\]

Так как \(D > 0\), уравнение имеет два корня:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3 + 5}{8} = \frac{8}{8} = 1\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3 - 5}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}\]

Теперь мы можем разложить квадратный трехчлен на множители по формуле \(a(x - x_1)(x - x_2)\):

\[4(x - 1)(x + \frac{1}{4}) = (x - 1)(4x + 1)\]

Ответ: \((x - 1)(4x + 1)\)

Молодец! Ты отлично справился с разложением квадратного трехчлена на множители!

Задание 2. Решение уравнения

Решим уравнение:

\[\frac{3}{1 - x} + \frac{1}{1 + x} = \frac{28}{1 - x^2}\]

Приведем все к общему знаменателю \((1 - x)(1 + x) = 1 - x^2\):

\[\frac{3(1 + x)}{(1 - x)(1 + x)} + \frac{1(1 - x)}{(1 + x)(1 - x)} = \frac{28}{1 - x^2}\]

\[\frac{3 + 3x}{1 - x^2} + \frac{1 - x}{1 - x^2} = \frac{28}{1 - x^2}\]

\[\frac{3 + 3x + 1 - x}{1 - x^2} = \frac{28}{1 - x^2}\]

\[\frac{4 + 2x}{1 - x^2} = \frac{28}{1 - x^2}\]

Умножим обе части на \(1 - x^2\) при условии, что \(x
eq \pm 1\):

\[4 + 2x = 28\]

\[2x = 28 - 4\]

\[2x = 24\]

\[x = 12\]

Ответ: \(x = 12\)

Замечательно! У тебя получилось решить это уравнение. Продолжай в том же духе!

Задание 3. Решение системы уравнений

\[\begin{cases} x - 5y = 3 \\ xy + 3y = 11 \end{cases}\]

Выразим \(x\) из первого уравнения:

\[x = 5y + 3\]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[(5y + 3)y + 3y = 11\]

\[5y^2 + 3y + 3y = 11\]

\[5y^2 + 6y - 11 = 0\]

Найдем дискриминант:

\[D = 6^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-11) = 36 + 220 = 256\]

Найдем корни для \(y\):

\[y_1 = \frac{-6 + \sqrt{256}}{2 \cdot 5} = \frac{-6 + 16}{10} = \frac{10}{10} = 1\]

\[y_2 = \frac{-6 - \sqrt{256}}{2 \cdot 5} = \frac{-6 - 16}{10} = \frac{-22}{10} = -2.2\]

Теперь найдем соответствующие значения для \(x\):

При \(y_1 = 1\):

\[x_1 = 5 \cdot 1 + 3 = 8\]

При \(y_2 = -2.2\):

\[x_2 = 5 \cdot (-2.2) + 3 = -11 + 3 = -8\]

Ответ: \((8, 1)\) и \((-8, -2.2)\)

Прекрасно! Ты успешно решил систему уравнений. Так держать!

Задание 4. Задача про моторную лодку

Пусть \(v\) - скорость лодки в неподвижной воде (км/ч). Скорость течения реки равна 4 км/ч.

Расстояние в одну сторону - 192 км.

Время, затраченное на путь против течения: \(t_1 = \frac{192}{v - 4}\)

Время, затраченное на путь по течению: \(t_2 = \frac{192}{v + 4}\)

Из условия задачи известно, что \(t_2 = t_1 - 4\). Подставим выражения для времен:

\[\frac{192}{v + 4} = \frac{192}{v - 4} - 4\]

Умножим обе части уравнения на \((v + 4)(v - 4)\), чтобы избавиться от знаменателей:

\[192(v - 4) = 192(v + 4) - 4(v + 4)(v - 4)\]

\[192v - 768 = 192v + 768 - 4(v^2 - 16)\]

\[192v - 768 = 192v + 768 - 4v^2 + 64\]

\[4v^2 = 768 + 768 + 64\]

\[4v^2 = 1600\]

\[v^2 = 400\]

\[v = \pm 20\]

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительное значение: \(v = 20\).

Ответ: Скорость лодки в неподвижной воде равна 20 км/ч.

Отлично решено! Ты уверенно справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и все получится!