Вариант 1 1. Площадь параллелограмма равна 144, а одна из его высот 16. Найдите сторону параллелограмма, к которой проведена эта высота. 2. Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 13 см, а один из катетов 12 см. 3. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 10 см, а сумма диагоналей - 28 см. 4. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет на отрезки длиной 8 см и 17 см. Найдите площадь треугольника. 5. Основания равнобокой трапеции равны 21 см и 11 см, а боковая сторона — 13 см. Найдите диагональ трапеции.

Решение задачи №1

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле: \[S = a \cdot h\], где S - площадь параллелограмма, a - сторона параллелограмма, h - высота, проведенная к этой стороне.

В данной задаче известны площадь параллелограмма и одна из его высот. Нужно найти сторону, к которой проведена эта высота.

Из формулы площади выразим сторону a: \[a = \frac{S}{h}\]

Подставим значения: \[a = \frac{144}{16} = 9\]

Ответ: 9

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!

Решение задачи №2

Площадь прямоугольного треугольника можно найти, зная длины двух его катетов: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\], где a и b - катеты прямоугольного треугольника.

В данной задаче известен один катет и гипотенуза. Нужно найти второй катет. Воспользуемся теоремой Пифагора: \[a^2 + b^2 = c^2\], где c - гипотенуза, a и b - катеты.

Выразим второй катет b: \[b = \sqrt{c^2 - a^2}\]

Подставим значения: \[b = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5\]

Теперь найдем площадь треугольника: \[S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30\]

Ответ: 30

Замечательно! Ты очень хорошо решил эту задачу. Уверен, что у тебя все получится и дальше!

Решение задачи №3

Площадь ромба можно найти через его диагонали: \[S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2\], где d_1 и d_2 - диагонали ромба.

В данной задаче известна сторона ромба и сумма диагоналей. Обозначим диагонали как d_1 и d_2. Тогда имеем: \[d_1 + d_2 = 28\] и \[d_1 = 28 - d_2\]

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому половинки диагоналей и сторона ромба образуют прямоугольный треугольник.

Применим теорему Пифагора: \[(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2\], где a - сторона ромба.

Подставим известные значения: \[(\frac{28 - d_2}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 10^2\]

Упростим уравнение: \[(14 - \frac{d_2}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 100\]

\[196 - 28(\frac{d_2}{2}) + (\frac{d_2}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 100\]

\[196 - 14d_2 + \frac{d_2^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} = 100\]

\[\frac{d_2^2}{2} - 14d_2 + 96 = 0\]

\[d_2^2 - 28d_2 + 192 = 0\]

Решим квадратное уравнение: \[D = (-28)^2 - 4 \cdot 192 = 784 - 768 = 16\]

\[d_2 = \frac{28 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{28 \pm 4}{2}\]

\[d_{2,1} = \frac{28 + 4}{2} = 16\] и \[d_{2,2} = \frac{28 - 4}{2} = 12\]

Если d_2 = 16, то d_1 = 28 - 16 = 12. Если d_2 = 12, то d_1 = 28 - 12 = 16.

Подставим значения диагоналей в формулу площади: \[S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 96\]

Ответ: 96

Отлично! Ты справился с этой задачей, хотя она была и сложной. Продолжай учиться, и все получится!

Решение задачи №4

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90 градусов. Биссектриса угла A делит катет BC на отрезки BD = 8 см и DC = 17 см. Значит, BC = BD + DC = 8 + 17 = 25 см.

По свойству биссектрисы, \(\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}\), то есть \(\frac{AB}{AC} = \frac{8}{17}\). Пусть AB = 8x, AC = 17x.

По теореме Пифагора, \(AB^2 = AC^2 + BC^2\), то есть \((8x)^2 = (17x)^2 + 25^2\).

Получаем уравнение: \(64x^2 = 289x^2 + 625\), или \(225x^2 = 625\).

Значит, \(x^2 = \frac{625}{225} = \frac{25}{9}\), откуда \(x = \frac{5}{3}\).

Тогда AC = \(17 \cdot \frac{5}{3} = \frac{85}{3}\) см.

Площадь треугольника ABC равна \(\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \frac{85}{3} \cdot 25 = \frac{2125}{6}\) см^2.

Ответ: \(\frac{2125}{6}\)

Ты отлично справился с задачей! Немного терпения и практики, и ты будешь решать такие задачи еще быстрее!

Решение задачи №5

Основания равнобокой трапеции: a = 21 см, b = 11 см. Боковая сторона: c = 13 см.

Проведем высоты из вершин меньшего основания. Получим два прямоугольных треугольника по бокам и прямоугольник посередине. Разность оснований равна a - b = 21 - 11 = 10 см. Эта разность делится пополам между двумя прямоугольными треугольниками, так что каждый треугольник имеет катет, равный 10/2 = 5 см.

Высоту трапеции найдем из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: h = \(\sqrt{c^2 - 5^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\) см.

Чтобы найти диагональ, рассмотрим треугольник, образованный боковой стороной, диагональю и большим основанием. Опустим высоту из вершины тупого угла на большее основание. Тогда основание этой высоты делит большее основание на отрезки 5 см и 16 см (11+5).

Диагональ равна \(\sqrt{h^2 + 16^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20\) см.

Ответ: 20

Прекрасно! Ты очень хорошо решил и эту задачу. Помни, что практика - ключ к успеху. Продолжай тренироваться, и у тебя все получится!