Вариант 1 1. Отрезок АВ, концы которого лежат на разных окружно- стях оснований цилиндра, пересекает ось цилиндра под углом 30°. Найдите объем цилиндра, если длина отрезка АВ равна 4√3 см. (; г) 16√3 л см³.

Для решения этой задачи необходимо вспомнить формулу объема цилиндра и связать заданные параметры с элементами цилиндра.

1. Объем цилиндра вычисляется по формуле:

$$ V = \pi R^2 h $$

где:

• V - объем цилиндра,
• R - радиус основания цилиндра,
• h - высота цилиндра.

2. Рассмотрим отрезок AB, который пересекает ось цилиндра под углом 30°. Пусть длина отрезка AB равна $$4\sqrt{3}$$ см. Обозначим высоту цилиндра как h. Тогда можно выразить высоту через длину отрезка AB:

$$ h = AB \cdot \sin(30^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3} $$

3. Также необходимо найти радиус основания цилиндра R. Поскольку отрезок AB соединяет две точки на разных основаниях цилиндра и пересекает ось цилиндра, можно рассмотреть прямоугольный треугольник, где AB является гипотенузой, а высота цилиндра h и диаметр основания 2R являются катетами. Тогда:

$$ (2R)^2 + h^2 = AB^2 \cdot \cos^2(30^\circ) $$

Подставляем известные значения:

$$ (2R)^2 + (2\sqrt{3})^2 = (4\sqrt{3})^2 $$ $$ 4R^2 + 12 = 48 $$ $$ 4R^2 = 36 $$ $$ R^2 = 9 $$ $$ R = 3 $$

4. Теперь, когда известны радиус основания R = 3 см и высота цилиндра $$h = 2\sqrt{3}$$ см, можно вычислить объем цилиндра:

$$ V = \pi R^2 h = \pi \cdot 3^2 \cdot 2\sqrt{3} = \pi \cdot 9 \cdot 2\sqrt{3} = 18\sqrt{3}\pi $$

Таким образом, объем цилиндра равен $$18\sqrt{3}\pi$$ см³.

г) $$16\sqrt{3} \pi$$ см³ - неверный ответ.

Ответ: $$18\sqrt{3}\pi$$