Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВАРИАНТ 19 1. Основание прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3см и 4см. Высота призмы 10см. Найдите боковую поверхность призмы и ее объем. 2. Осевое сечение цилиндра квадрат. Площадь основания цилиндра равна 16л см². Найдите площадь полной поверхности и объем цилиндра. 3. Высота конуса равна 6 см. Угол при вершине осевого сечения равен 120. Найдите: а) площадь боковой поверхности конуса, б) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми 30.
Ответ:
Краткое пояснение: Решим задачи по геометрии, используя известные формулы для нахождения боковой поверхности, объема призмы, цилиндра и конуса, а также площади сечения конуса.
Задание 1
Основание призмы – прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см. Высота призмы 10 см. Нужно найти площадь боковой поверхности и объем призмы.
Шаг 1: Найдем гипотенузу основания призмы по теореме Пифагора:
\[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}.\]Шаг 2: Найдем периметр основания призмы:
\[P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12 \text{ см}.\]Шаг 3: Найдем площадь боковой поверхности призмы:
\[S_{\text{бок}} = P \cdot h = 12 \cdot 10 = 120 \text{ см}^2.\]Шаг 4: Найдем площадь основания призмы:
\[S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \text{ см}^2.\]Шаг 5: Найдем объем призмы:
\[V = S_{\text{осн}} \cdot h = 6 \cdot 10 = 60 \text{ см}^3.\]Ответ: Площадь боковой поверхности призмы: 120 см², объем призмы: 60 см³.
Задание 2
Осевое сечение цилиндра – квадрат. Площадь основания цилиндра равна \(16\pi \) см². Нужно найти площадь полной поверхности и объем цилиндра.
Шаг 1: Найдем радиус основания цилиндра:
\[S_{\text{осн}} = \pi r^2 = 16\pi \Rightarrow r^2 = 16 \Rightarrow r = 4 \text{ см}.\]Шаг 2: Так как осевое сечение – квадрат, то высота цилиндра равна диаметру основания:
\[h = 2r = 2 \cdot 4 = 8 \text{ см}.\]Шаг 3: Найдем площадь боковой поверхности цилиндра:
\[S_{\text{бок}} = 2\pi r h = 2\pi \cdot 4 \cdot 8 = 64\pi \text{ см}^2.\]Шаг 4: Найдем площадь полной поверхности цилиндра:
\[S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}} = 64\pi + 2 \cdot 16\pi = 64\pi + 32\pi = 96\pi \text{ см}^2.\]Шаг 5: Найдем объем цилиндра:
\[V = S_{\text{осн}} \cdot h = 16\pi \cdot 8 = 128\pi \text{ см}^3.\]Ответ: Площадь полной поверхности цилиндра: \(96\pi \) см², объем цилиндра: \(128\pi \) см³.
Задание 3
Высота конуса равна 6 см. Угол при вершине осевого сечения равен 120°. Нужно найти площадь боковой поверхности конуса и площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми 30°.
Шаг 1: Найдем радиус основания конуса. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, радиусом и образующей конуса. Угол между высотой и образующей равен половине угла при вершине осевого сечения, то есть 60°.
\[\tan(60^\circ) = \frac{r}{h} \Rightarrow r = h \cdot \tan(60^\circ) = 6 \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3} \text{ см}.\]Шаг 2: Найдем образующую конуса:
\[l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(6\sqrt{3})^2 + 6^2} = \sqrt{108 + 36} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}.\]Шаг 3: Найдем площадь боковой поверхности конуса:
\[S_{\text{бок}} = \pi r l = \pi \cdot 6\sqrt{3} \cdot 12 = 72\pi\sqrt{3} \text{ см}^2.\]Шаг 4: Найдем площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми 30°. Площадь сечения равна:
\[S_{\text{сеч}} = \frac{1}{2} l^2 \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot 12^2 \cdot \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 144 \cdot \frac{1}{2} = 36 \text{ см}^2.\]Ответ: Площадь боковой поверхности конуса: \(72\pi\sqrt{3} \) см², площадь сечения конуса: 36 см².
