Вариант 1. 1. Определите число корней уравнения: 9x²+12x+4=02x²+3x-11=0 2. Решите уравнения через дискриминант: x²-14x+33=0 3. Решете уравнение с помощью т. Виета: 4. Решите уравнение: 5. Одна сторона прямоугольника на 9 см больше другой. Найдите стороны прямоугольни площадь равна 112 см².

1. Определите число корней уравнения: 9x² + 12x + 4 = 0

Смотри, тут всё просто: сначала упростим уравнение, а затем определим количество корней.

• Шаг 1: Упростим уравнение.

\[9x^2 + 12x + 4 = 0\]

• Шаг 2: Найдём дискриминант (D).

\[D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 144 - 144 = 0\]

• Шаг 3: Определим количество корней.

Поскольку D = 0, уравнение имеет один корень.

Ответ: 1 корень

2. Решите уравнения через дискриминант: x² - 14x + 33 = 0

Логика такая: вычисляем дискриминант и находим корни уравнения.

• Шаг 1: Найдём дискриминант (D).

\[D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 33 = 196 - 132 = 64\]

• Шаг 2: Вычислим корни уравнения.

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{14 + 8}{2} = \frac{22}{2} = 11\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{14 - 8}{2} = \frac{6}{2} = 3\]

Ответ: x₁ = 11, x₂ = 3

3. Решите уравнение с помощью т. Виета: 4x² + 20x + 24 = 0

Смотри, тут всё просто: сначала упростим уравнение, а затем применим теорему Виета.

• Шаг 1: Упростим уравнение, разделив обе части на 4.

\[x^2 + 5x + 6 = 0\]

• Шаг 2: Применим теорему Виета.

Согласно теореме Виета:

\[x_1 + x_2 = -5\] \[x_1 \cdot x_2 = 6\]

• Шаг 3: Найдём корни уравнения.

Подбором находим корни: x₁ = -2, x₂ = -3

Ответ: x₁ = -2, x₂ = -3

4. Решите уравнение: \(\frac{9}{x-2} - \frac{5}{x} = 2\)

Разбираемся: решаем рациональное уравнение.

• Шаг 1: Приведём дроби к общему знаменателю.

\[\frac{9x - 5(x-2)}{x(x-2)} = 2\]

• Шаг 2: Упростим уравнение.

\[\frac{9x - 5x + 10}{x^2 - 2x} = 2\] \[\frac{4x + 10}{x^2 - 2x} = 2\]

• Шаг 3: Умножим обе части уравнения на \(x^2 - 2x\).

\[4x + 10 = 2(x^2 - 2x)\] \[4x + 10 = 2x^2 - 4x\]

• Шаг 4: Перенесём все члены в одну сторону и упростим.

\[2x^2 - 8x - 10 = 0\] \[x^2 - 4x - 5 = 0\]

• Шаг 5: Решим квадратное уравнение.

\[D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\] \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]

Ответ: x₁ = 5, x₂ = -1

5. Одна сторона прямоугольника на 9 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 112 см².

Разбираемся: решаем задачу на составление уравнения.

• Шаг 1: Обозначим стороны прямоугольника.

Пусть меньшая сторона равна x, тогда большая сторона равна x + 9.

• Шаг 2: Запишем уравнение площади прямоугольника.

\[x(x + 9) = 112\] \[x^2 + 9x - 112 = 0\]

• Шаг 3: Решим квадратное уравнение.

\[D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-112) = 81 + 448 = 529\] \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{529}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 23}{2} = \frac{14}{2} = 7\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{529}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 23}{2} = \frac{-32}{2} = -16\]

• Шаг 4: Выберем подходящий корень.

Поскольку длина не может быть отрицательной, выбираем x = 7.

Тогда другая сторона равна x + 9 = 7 + 9 = 16.

Ответ: 7 см и 16 см