Вариант 1 1. Найти: углы ДАВС (рис. 4.42). 2. Внутренние углы треугольника АВС пропорциональны числам 2, 5, 8. а) Найти: углы ДАВС. б) Найти: внешние углы ДАВС. 3. В треугольнике АВС проведена биссектриса BD. ∠A = 50°, ∠B = 60°. Найти: углы ACBD.

1. Рассмотрим треугольник ABC на рисунке 4.42.

По теореме о сумме углов треугольника:

$$∠A + ∠B + ∠C = 180°$$

Внешний угол при вершине B равен 40°, следовательно, внутренний угол B равен:

$$∠B = 180° - 40° = 140°$$

Внешний угол при вершине C равен 120°, следовательно, внутренний угол C равен:

$$∠C = 180° - 120° = 60°$$

Тогда угол A равен:

$$∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 140° - 60° = -20°$$

Угол не может быть отрицательным, следовательно, рисунок некорректный.

2. а) Пусть углы треугольника ABC равны 2x, 5x и 8x. Сумма углов треугольника равна 180°.

$$2x + 5x + 8x = 180°$$

$$15x = 180°$$

$$x = \frac{180°}{15} = 12°$$

Тогда углы треугольника равны:

• $$∠A = 2x = 2 \cdot 12° = 24°$$
• $$∠B = 5x = 5 \cdot 12° = 60°$$
• $$∠C = 8x = 8 \cdot 12° = 96°$$

б) Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним.

• Внешний угол при вершине A: $$∠A_{внешний} = ∠B + ∠C = 60° + 96° = 156°$$
• Внешний угол при вершине B: $$∠B_{внешний} = ∠A + ∠C = 24° + 96° = 120°$$
• Внешний угол при вершине C: $$∠C_{внешний} = ∠A + ∠B = 24° + 60° = 84°$$

3. В треугольнике ABC известны углы ∠A = 50° и ∠B = 60°. Найдем угол ∠C:

$$∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 50° - 60° = 70°$$

Так как BD - биссектриса, то угол ∠CBD равен половине угла ∠B:

$$∠CBD = \frac{∠B}{2} = \frac{60°}{2} = 30°$$

Рассмотрим треугольник CBD. Найдем угол ∠BDC:

$$∠BDC = 180° - ∠CBD - ∠C = 180° - 30° - 70° = 80°$$

Углы треугольника CBD: ∠CBD = 30°, ∠BDC = 80°, ∠C = 70°

Ответ: 1. ∠A = -20°, ∠B = 140°, ∠C = 60°, некорректный рисунок; 2. а) ∠A = 24°, ∠B = 60°, ∠C = 96°; б) ∠A_внешний = 156°, ∠B_внешний = 120°, ∠C_внешний = 84°; 3. ∠CBD = 30°, ∠BDC = 80°, ∠C = 70°