Вариант 2 1. Найдите второй катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза 17 см, а другой катет 15 см. 2. Диагонали ромба равны 14см. и 48 см. Найдите сторону ромба. 3. В параллелограмме две стороны 12см. и 16 см., а один из углов 150°. Найдите площадь параллелограмма. 4.В треугольнике ABC ∠A = 30°, ∠B = 75°, высота BD равна 6 см. Найдите площадь треугольника АВС. 5. Диагональ прямоугольника равна 13 см, а одна из сторон – 5 см. Найдите площадь и периметр прямоугольника. 6. В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 13 см, основания 10 и 20 см. Найдите площадь трапеции.

Задача 1

Пусть a и b - катеты, c - гипотенуза. Тогда по теореме Пифагора: \[a^2 + b^2 = c^2\]

Из условия: c = 17 см, a = 15 см. Необходимо найти b.

Выразим b из теоремы Пифагора: \[b = \sqrt{c^2 - a^2}\]

Подставим значения: \[b = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8 \]

Ответ: Второй катет равен 8 см.

Задача 2

Диагонали ромба d1 = 14 см и d2 = 48 см. Сторона ромба a.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Таким образом, половинки диагоналей равны d1/2 = 7 см и d2/2 = 24 см.

Сторона ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами d1/2 и d2/2. По теореме Пифагора: \[a = \sqrt{(\frac{d1}{2})^2 + (\frac{d2}{2})^2}\]

Подставим значения: \[a = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25 \]

Ответ: Сторона ромба равна 25 см.

Задача 3

Стороны параллелограмма a = 12 см и b = 16 см. Угол между сторонами α = 150°.

Площадь параллелограмма: \[S = a \cdot b \cdot sin(α)\]

Синус угла 150° равен синусу угла 30°, то есть sin(150°) = sin(30°) = 0.5.

Подставим значения: \[S = 12 \cdot 16 \cdot 0.5 = 96 \]

Ответ: Площадь параллелограмма равна 96 см².

Задача 4

В треугольнике ABC угол ∠A = 30°, угол ∠B = 75°, высота BD = 6 см.

Найдем угол ∠C: \[∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 30° - 75° = 75°\]

Так как ∠B = ∠C, треугольник ABC равнобедренный с основанием BC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. В нем ∠A = 30° и BD = 6 см. Тогда AB = 2 * BD = 12 см (катет, лежащий против угла 30° равен половине гипотенузы).

Площадь треугольника ABC: \[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD\]

Так как треугольник равнобедренный, AB = AC = 12 см. Подставим значения: \[S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 = 36 \]

Ответ: Площадь треугольника ABC равна 36 см².

Задача 5

Диагональ прямоугольника d = 13 см, одна из сторон a = 5 см.

Найдем вторую сторону b по теореме Пифагора: \[b = \sqrt{d^2 - a^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \]

Площадь прямоугольника: \[S = a \cdot b = 5 \cdot 12 = 60 \]

Периметр прямоугольника: \[P = 2 \cdot (a + b) = 2 \cdot (5 + 12) = 2 \cdot 17 = 34 \]

Ответ: Площадь прямоугольника равна 60 см², периметр равен 34 см.

Задача 6

В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 13 см, основания a = 10 см и b = 20 см.

Найдем высоту h трапеции. Разница между основаниями равна 20 - 10 = 10 см. Поскольку трапеция равнобедренная, эта разница делится пополам, образуя катет прямоугольного треугольника с гипотенузой 13 см. Тогда второй катет (высота) \[h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \]

Площадь трапеции: \[S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{10 + 20}{2} \cdot 12 = \frac{30}{2} \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180 \]

Ответ: Площадь трапеции равна 180 см².