Вариант 2 1. Найдите углы параллелограмма, если сумма двух из них равна 200°. 2. Биссектриса угла В прямоугольника ABCD делит пересекаемую ею сторону CD точкой Е на отрезки СЕ = 6 см и ED = 4 см. Найдите стороны данного прямоугольника. 3. Периметр треугольника равен 12 см. Найдите периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника. 4. Основания трапеции равны 6 см и 8 см. Найдите отрезки, на которые делит среднюю линию трапеции одна из её диагоналей. 5. * В параллелограмме ABCD точка Е – середина стороны AD. Отрезок ВЕ пересекает диагональ АС в точке F. Найдите отношение AF : FC.

1. Найдите углы параллелограмма, если сумма двух из них равна 200°.

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Пусть \(\angle A + \angle B = 200^\circ\). Так как сумма всех углов параллелограмма равна 360°, а противолежащие углы равны, то углы \(A\) и \(B\) не могут быть противолежащими, следовательно, это углы, прилежащие к одной стороне. Тогда: \(\angle A + \angle B = 200^\circ\) \(\angle A + \angle B = 180^\circ\) (как углы, прилежащие к одной стороне) Пусть один угол \(x\), тогда другой \(200-x\). Подставим во второе уравнение: \(x + 200 - x = 180\) \(2x = 180\) \(x = 90^\circ\) Тогда, \(200 - x = 200 - 90 = 110^\circ\) Итак, два угла параллелограмма равны 90° и 110°, следовательно, другие два угла равны соответственно 90° и 110°.

Ответ: 90°, 110°, 90°, 110°.

2. Биссектриса угла В прямоугольника ABCD делит пересекаемую ею сторону CD точкой Е на отрезки СЕ = 6 см и ED = 4 см. Найдите стороны данного прямоугольника.

Так как BE - биссектриса, то \(\angle ABE = \angle CBE\). \(\angle ABE = \angle BEC\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей BE. Следовательно, \(\angle CBE = \angle BEC\), а значит, треугольник BCE равнобедренный, и BC = CE = 6 см. AD = BC = 6 см, CD = CE + ED = 6 + 4 = 10 см. AB = CD = 10 см.

Ответ: 6 см, 6 см, 10 см, 10 см.

3. Периметр треугольника равен 12 см. Найдите периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.

Периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника, равен половине периметра исходного треугольника. Следовательно, периметр равен 12/2 = 6 см.

Ответ: 6 см.

4. Основания трапеции равны 6 см и 8 см. Найдите отрезки, на которые делит среднюю линию трапеции одна из её диагоналей.

Пусть дана трапеция ABCD, где AD = 8 см и BC = 6 см - основания. MN - средняя линия трапеции, где M - середина AB, N - середина CD. Диагональ AC пересекает MN в точке K. Тогда MK - средняя линия треугольника ABC, и MK = 1/2 BC = 3 см. KN - средняя линия треугольника ACD, и KN = 1/2 AD = 4 см. MN = MK + KN = 3 + 4 = 7 см.

Ответ: 3 см, 4 см.

5. * В параллелограмме ABCD точка Е – середина стороны AD. Отрезок ВЕ пересекает диагональ АС в точке F. Найдите отношение AF : FC.

Пусть AF = x, FC = y. Рассмотрим треугольники AFE и CFB. Угол AFE = углу CFB как вертикальные углы. Угол FAE = углу FCB как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC. Следовательно, треугольники AFE и CFB подобны по двум углам. Из подобия следует, что AF/FC = AE/BC. Так как E - середина AD, то AE = 1/2 AD. BC = AD (противоположные стороны параллелограмма). Следовательно, AE = 1/2 BC. Тогда AF/FC = (1/2 BC)/BC = 1/2. AF : FC = 1:2.

Ответ: 1:2