Вариант 17 1. Найдите скалярное произведение векторов а и в, если а) |a|= 17, |5|=18, угол между векторами 135°; 6) ā{−1,7; 6}, 6 {0,4; 0,7}. 2. Вычислите косинус угла между векторами а{−9; 2} и б {9; 2}. 3. Докажите, что векторы ВА и ВС перпендикулярны, если А(0;4), B(7;-4), C(14;4).

Вариант 17

1. Найдите скалярное произведение векторов $$ \vec{a} $$ и $$ \vec{b} $$, если:

а) $$ |\vec{a}|= 17, |\vec{b}|=18 $$, угол между векторами 135°;

Скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними: $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot cos(\alpha) $$ В нашем случае: $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 17 \cdot 18 \cdot cos(135°) $$ $$ cos(135°) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 17 \cdot 18 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -153\sqrt{2} $$

Ответ: $$ -153\sqrt{2} $$

б) $$ \vec{a}\{-1.7; 6\}, \vec{b}\{0.4; 0.7\} $$.

Скалярное произведение векторов, заданных координатами, равно сумме произведений их соответствующих координат: $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y $$ В нашем случае: $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = (-1.7) \cdot (0.4) + 6 \cdot 0.7 = -0.68 + 4.2 = 3.52 $$

Ответ: 3.52

2. Вычислите косинус угла между векторами $$ \vec{a}\{-9; 2\} $$ и $$ \vec{b}\{9; 2\} $$.

Косинус угла между векторами можно вычислить по формуле: $$ cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} $$ Сначала найдем скалярное произведение векторов: $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = (-9) \cdot 9 + 2 \cdot 2 = -81 + 4 = -77 $$ Теперь найдем длины векторов: $$ |\vec{a}| = \sqrt{(-9)^2 + 2^2} = \sqrt{81 + 4} = \sqrt{85} $$ $$ |\vec{b}| = \sqrt{9^2 + 2^2} = \sqrt{81 + 4} = \sqrt{85} $$ Подставим в формулу косинуса угла: $$ cos(\alpha) = \frac{-77}{\sqrt{85} \cdot \sqrt{85}} = \frac{-77}{85} $$

Ответ: $$ -\frac{77}{85} $$

3. Докажите, что векторы $$ \vec{BA} $$ и $$ \vec{BC} $$ перпендикулярны, если A(0;4), B(7;-4), C(14;4).

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Найдем координаты векторов $$ \vec{BA} $$ и $$ \vec{BC} $$: $$ \vec{BA} = (0 - 7; 4 - (-4)) = (-7; 8) $$ $$ \vec{BC} = (14 - 7; 4 - (-4)) = (7; 8) $$ Найдем скалярное произведение векторов $$ \vec{BA} $$ и $$ \vec{BC} $$: $$ \vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-7) \cdot 7 + 8 \cdot 8 = -49 + 64 = 15 $$ Так как скалярное произведение не равно нулю, векторы не перпендикулярны.

Ответ: Векторы не перпендикулярны.