Решение задач

Задача 1

Дано: Прямоугольный треугольник с катетами a = 7 см, b = 24 см.

Найти: синус, косинус и тангенс большего острого угла.

Решение:

1. Найдем гипотенузу c по теореме Пифагора: $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$.
2. Подставим значения катетов: $$c = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$$ см.
3. Больший острый угол лежит напротив большего катета, то есть напротив катета b = 24 см.
4. Синус большего острого угла: $$\sin(\alpha) = \frac{b}{c} = \frac{24}{25} = 0.96$$.
5. Косинус большего острого угла: $$\cos(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{7}{25} = 0.28$$.
6. Тангенс большего острого угла: $$\tan(\alpha) = \frac{b}{a} = \frac{24}{7} \approx 3.43$$.

Ответ: Синус большего угла = 0.96, Косинус большего угла = 0.28, Тангенс большего угла ≈ 3.43

Задача 2

Дано: Прямоугольный треугольник с гипотенузой c = 25 см и синусом одного из острых углов sin(α) = 0.6.

Найти: Катеты этого треугольника.

Решение:

1. Пусть a - катет, противолежащий углу α. Тогда $$\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$$.
2. Выразим катет a: $$a = c \cdot \sin(\alpha) = 25 \cdot 0.6 = 15$$ см.
3. Найдем другой катет b по теореме Пифагора: $$b = \sqrt{c^2 - a^2}$$.
4. Подставим значения: $$b = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20$$ см.

Ответ: Катеты треугольника равны 15 см и 20 см.

Задача 3

Дано: Треугольник ABC с прямым углом C. Высота CH = 5√3 см, AH = 15 см.

Найти: Острые углы прямоугольного треугольника.

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH.
2. Найдем тангенс угла A: $$\tan(A) = \frac{CH}{AH} = \frac{5\sqrt{3}}{15} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$.
3. Угол, тангенс которого равен $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$, равен 30 градусам. Следовательно, угол A = 30°.
4. Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, то угол B = 90° - A = 90° - 30° = 60°.

Ответ: Угол A = 30°, угол B = 60°.