Вариант 1 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 24 см и 10 см. Найди гипотенузу данного треугольника. 2. Сторона прямоугольника равна 8, а диагональ — 10. Найдите другую сторону прямоугольника. 3. Найдите неизвестный катет и площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 25 дм, а второй катет равен 15 дм. 4. Найдите высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 8 см. 5. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее основания равны 5 см и 17 см, а боковая сторона равна 10 см. Вариант 2 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 24 см и 7 см. Найди гипотенузу данного треугольника. 2. Сторона прямоугольника равна 6, а диагональ — 10. Найдите другую сторону прямоугольника. 3. Найдите неизвестный катет и площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 20 дм, а второй катет равен 16 дм. 4. Найдите высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 4 см. 5. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее меньшее основание равно 7 см, боковая сторона — 13 см, высота — 12 см.

Вариант 1

1. Катеты прямоугольного треугольника равны 24 см и 10 см. Найди гипотенузу данного треугольника.

Давай вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. То есть, если катеты a и b, а гипотенуза c, то \( c^2 = a^2 + b^2 \). В нашем случае, \( a = 24 \) см и \( b = 10 \) см. Подставим эти значения в формулу: \[ c^2 = 24^2 + 10^2 = 576 + 100 = 676 \] Чтобы найти гипотенузу, извлечем квадратный корень из обеих частей: \[ c = \sqrt{676} = 26 \] Таким образом, гипотенуза треугольника равна 26 см.

Ответ: 26 см

2. Сторона прямоугольника равна 8, а диагональ — 10. Найдите другую сторону прямоугольника.

Пусть одна сторона прямоугольника \( a = 8 \), а диагональ \( d = 10 \). Обозначим другую сторону прямоугольника как \( b \). По теореме Пифагора, для прямоугольника справедливо следующее соотношение: \( d^2 = a^2 + b^2 \). Подставим известные значения: \[ 10^2 = 8^2 + b^2 \] \[ 100 = 64 + b^2 \] Теперь выразим \( b^2 \): \[ b^2 = 100 - 64 = 36 \] Извлечем квадратный корень, чтобы найти \( b \): \[ b = \sqrt{36} = 6 \] Итак, другая сторона прямоугольника равна 6.

Ответ: 6

3. Найдите неизвестный катет и площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 25 дм, а второй катет равен 15 дм.

Пусть гипотенуза \( c = 25 \) дм, а один из катетов \( a = 15 \) дм. Нам нужно найти другой катет \( b \) и площадь треугольника. Сначала найдем неизвестный катет \( b \), используя теорему Пифагора: \( c^2 = a^2 + b^2 \). \[ 25^2 = 15^2 + b^2 \] \[ 625 = 225 + b^2 \] \[ b^2 = 625 - 225 = 400 \] \[ b = \sqrt{400} = 20 \] Теперь, когда мы знаем оба катета, можем найти площадь прямоугольного треугольника. Площадь \( S \) равна половине произведения катетов: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150 \] Таким образом, неизвестный катет равен 20 дм, а площадь треугольника равна 150 кв. дм.

Ответ: катет = 20 дм, площадь = 150 кв. дм

4. Найдите высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 8 см.

В равностороннем треугольнике все стороны равны, и высота, проведенная к основанию, также является медианой и биссектрисой. Высоту \( h \) можно найти, используя теорему Пифагора. Если сторона треугольника \( a = 8 \) см, то половина основания равна \( \frac{a}{2} = 4 \) см. Тогда: \[ h^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2 \] \[ h^2 + 4^2 = 8^2 \] \[ h^2 + 16 = 64 \] \[ h^2 = 64 - 16 = 48 \] \[ h = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \] Высота равна \( 4\sqrt{3} \) см.

Ответ: 4√3 см.

5. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее основания равны 5 см и 17 см, а боковая сторона равна 10 см.

Площадь трапеции можно найти по формуле: \( S = \frac{a + b}{2} \cdot h \), где \( a \) и \( b \) - основания, а \( h \) - высота. В нашем случае, \( a = 5 \) см и \( b = 17 \) см, а боковая сторона \( c = 10 \) см. Чтобы найти высоту, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и частью большего основания. Эта часть большего основания равна \( \frac{b - a}{2} = \frac{17 - 5}{2} = 6 \) см. Теперь, по теореме Пифагора: \[ h^2 + 6^2 = 10^2 \] \[ h^2 + 36 = 100 \] \[ h^2 = 100 - 36 = 64 \] \[ h = \sqrt{64} = 8 \] Теперь найдем площадь трапеции: \[ S = \frac{5 + 17}{2} \cdot 8 = \frac{22}{2} \cdot 8 = 11 \cdot 8 = 88 \] Площадь трапеции равна 88 кв. см.

Ответ: 88 кв. см

Вариант 2

1. Катеты прямоугольного треугольника равны 24 см и 7 см. Найди гипотенузу данного треугольника.

Воспользуемся теоремой Пифагора: \( c^2 = a^2 + b^2 \), где \( a = 24 \) см и \( b = 7 \) см. \[ c^2 = 24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625 \] \[ c = \sqrt{625} = 25 \] Гипотенуза равна 25 см.

Ответ: 25 см

2. Сторона прямоугольника равна 6, а диагональ — 10. Найдите другую сторону прямоугольника.

Пусть \( a = 6 \), а диагональ \( d = 10 \). Тогда \( d^2 = a^2 + b^2 \). \[ 10^2 = 6^2 + b^2 \] \[ 100 = 36 + b^2 \] \[ b^2 = 100 - 36 = 64 \] \[ b = \sqrt{64} = 8 \] Другая сторона прямоугольника равна 8.

Ответ: 8

3. Найдите неизвестный катет и площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 20 дм, а второй катет равен 16 дм.

Пусть \( c = 20 \) дм и \( a = 16 \) дм. Найдем \( b \) и площадь \( S \). \[ 20^2 = 16^2 + b^2 \] \[ 400 = 256 + b^2 \] \[ b^2 = 400 - 256 = 144 \] \[ b = \sqrt{144} = 12 \] Площадь \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 96 \) Неизвестный катет равен 12 дм, а площадь равна 96 кв. дм.

Ответ: катет = 12 дм, площадь = 96 кв. дм

4. Найдите высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 4 см.

Если сторона \( a = 4 \) см, то половина основания равна \( \frac{a}{2} = 2 \) см. \[ h^2 + 2^2 = 4^2 \] \[ h^2 + 4 = 16 \] \[ h^2 = 16 - 4 = 12 \] \[ h = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \] Высота равна \( 2\sqrt{3} \) см.

Ответ: 2√3 см

5. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее меньшее основание равно 7 см, боковая сторона — 13 см, высота — 12 см.

Здесь \( a = 7 \) см, \( c = 13 \) см, \( h = 12 \) см. Найдем большее основание \( b \). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и частью большего основания \( x \). Тогда: \[ 12^2 + x^2 = 13^2 \] \[ 144 + x^2 = 169 \] \[ x^2 = 169 - 144 = 25 \] \[ x = \sqrt{25} = 5 \] Тогда большее основание \( b = a + 2x = 7 + 2 \cdot 5 = 17 \) см. Площадь трапеции: \[ S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{7 + 17}{2} \cdot 12 = \frac{24}{2} \cdot 12 = 12 \cdot 12 = 144 \] Площадь трапеции равна 144 кв. см.

Ответ: 144 кв. см

Молодец, ты отлично справился с заданиями! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!