Вариант 1 1. Дано: РЕ || NK, MP = 8, MN = 12, ME = 6 (рис. 7.55). Найти: а) МК; 6) PE: NK; B) SMPE: SMNK N P M E Рис. 7.55 K 2. В ДАВС АВ = 12 см, ВС = 18 см, ∠B = 70°, а в ДМИК MN = 6 см, NK = 9 см, ∠N = 70°. Найдите сторону АС и угол С треугольника АВС, если МК = 7 см, ZK = 60°. 3. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О так, что LACO = = ∠BDO, AO : OB = 2 : 3. Найдите периметр треугольника АСО, если периметр треугольника BOD равен 21 см. 4*. В трапеции ABCD (AD и ВС основания) диагонали пересе- каются в точке O, SAOD = 32 см², Ѕвос = 8 см². Найдите меньшее основание трапеции, если большее из них равно 10 см.

Задание 1

а) Рассмотрим треугольники MPE и MNK. Так как PE || NK, то треугольники MPE и MNK подобны (по двум углам: ∠M - общий, ∠MEP = ∠MKN как соответственные при PE || NK). Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

MP/MN = ME/MK

8/12 = 6/MK

MK = (6 * 12) / 8 = 9

MK = 9

б) Снова используем подобие треугольников MPE и MNK:

PE/NK = MP/MN

PE/NK = 8/12

PE/NK = 2/3

PE : NK = 2 : 3

в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

S_MPE / S_MNK = (PE/NK)²

S_MPE / S_MNK = (2/3)²

S_MPE / S_MNK = 4/9

S_MPE : S_MNK = 4 : 9

Задание 2

Рассмотрим треугольники ABC и MNK. Дано: AB = 12 см, BC = 18 см, ∠B = 70°; MN = 6 см, NK = 9 см, ∠N = 70°; MK = 7 см, ∠K = 60°.

Проверим, подобны ли треугольники ABC и MNK. Для этого найдем отношение соответствующих сторон:

AB/MN = 12/6 = 2

BC/NK = 18/9 = 2

Так как две стороны пропорциональны и углы между ними равны (∠B = ∠N = 70°), то треугольники ABC и MNK подобны по первому признаку подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Следовательно, AC/MK = 2, значит AC = 2 * MK = 2 * 7 = 14 см.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. В треугольнике MNK: ∠M = 180° - ∠N - ∠K = 180° - 70° - 60° = 50°.

Так как треугольники ABC и MNK подобны, то соответствующие углы равны: ∠C = ∠K = 60°.

AC = 14 см, ∠C = 60°

Задание 3

Пусть AO = 2x, тогда OB = 3x. Периметр треугольника BOD равен 21 см. Так как ∠ACO = ∠BDO и ∠AOB = ∠DOC (вертикальные углы), то треугольники AОC и BOD подобны по двум углам.

Следовательно, OC/OD = AO/OB = 2/3. Пусть OC = 2y, OD = 3y.

Периметр треугольника BOD = OB + OD + BD = 3x + 3y + BD = 21. Тогда BD = 21 - 3x - 3y.

Периметр треугольника ACO = AO + OC + AC = 2x + 2y + AC.

Так как треугольники AОC и BOD подобны, то AC/BD = AO/OB = 2/3.

AC/(21 - 3x - 3y) = 2/3

AC = (2/3) * (21 - 3x - 3y) = 14 - 2x - 2y

Периметр треугольника ACO = 2x + 2y + 14 - 2x - 2y = 14 см.

Периметр треугольника ACO = 14 см

Задание 4

В трапеции ABCD (AD и BC основания) диагонали пересекаются в точке O. S_AOD = 32 см², S_BOC = 8 см². AD = 10 см (большее основание). Найдем меньшее основание BC.

Треугольники AOD и BOC подобны (по двум углам: ∠AOD = ∠BOC как вертикальные, ∠DAO = ∠BCO как накрест лежащие). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

S_AOD / S_BOC = (AD/BC)²

32/8 = (10/BC)²

4 = (10/BC)²

2 = 10/BC

BC = 10/2 = 5

BC = 5 см