Вариант 1 1. Дано: АО = 6,8 см, СО = 8,4 см, ОВ = 5,1 см, OD = 6,3 см (рис. 7.56). Доказать: АС||BD. Найти: а) DB : AC, 6) PAOC : PDBO, B) SDBO: SAOC. 2. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О, BD = 16 см. На стороне АВ взята точка К так, что ОК 1 АВ и ОК = 4√3 см. Найдите сторону ромба и вторую диагональ. 3. В выпуклом четырехугольнике ABCD AB = 9 см, ВС = 8 см, CD = 16 см, AD = 6 см, BD = 12 см. Докажите, что ABCD трапеция. 4. * В равнобедренном треугольнике MNK с основанием МК, равным 10 см, MN = NK = 20 см. На стороне NK лежит точка А так, что АК : AN =1: 3. Найдите АМ.

Привет! Отлично, что ты взялся за эти задачи. Давай разберем их по порядку.

1. Пропорциональность отрезков диагоналей и отношения площадей/периметров треугольников

Дано: AO = 6.8 см, CO = 8.4 см, OB = 5.1 см, OD = 6.3 см.

Доказать: AC || BD.

Найти: a) DB : AC, б) P_AOC : P_DBO, в) S_DBO : S_AOC.

1. Доказательство параллельности:

   Проверим, пропорциональны ли отрезки диагоналей:

   \[\frac{AO}{OD} = \frac{6.8}{6.3} = \frac{68}{63}\] \[\frac{CO}{OB} = \frac{8.4}{5.1} = \frac{84}{51} = \frac{28}{17} = \frac{28 \cdot (63/17)}{17 \cdot (63/17)} = \frac{110.35}{63}\]

   Так как \(\frac{AO}{OD}
   eq \frac{CO}{OB}\), то AC и BD не параллельны.

2. a) DB : AC:

   DB = OB + OD = 5.1 + 6.3 = 11.4 см

   AC = AO + OC = 6.8 + 8.4 = 15.2 см

   \[\frac{DB}{AC} = \frac{11.4}{15.2} = \frac{114}{152} = \frac{57}{76} \approx 0.75\]

3. б) P_AOC : P_DBO:

   Нужно знать длины сторон AC, AO, OC, DB, DO, OB. Без них невозможно найти периметры и их отношение.

4. в) S_DBO : S_AOC:

   Нужно знать высоты, проведенные к основаниям AC и DB соответственно. Без них невозможно найти площади и их отношение.

Ответ: AC и BD не параллельны; DB : AC = 57/76.

---

2. Ромб и его диагонали

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O, BD = 16 см. На стороне AB взята точка K так, что OK ⊥ AB и OK = 4√3 см. Найдите сторону ромба и вторую диагональ.

1. Найдем BO:

   Так как диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам, BO = BD / 2 = 16 / 2 = 8 см.

2. Рассмотрим треугольник ABO:

   OK - высота, проведенная к стороне AB. Площадь треугольника ABO можно найти двумя способами: S_ABO = 1/2 * AB * OK = 1/2 * AO * BO

3. Выразим AB через AO:

   \[AB = \frac{AO \cdot BO}{OK} = \frac{AO \cdot 8}{4\sqrt{3}} = \frac{2AO}{\sqrt{3}}\]

4. Применим теорему Пифагора для треугольника ABO:

   \[AB^2 = AO^2 + BO^2\] \[\left(\frac{2AO}{\sqrt{3}}\right)^2 = AO^2 + 8^2\] \[\frac{4AO^2}{3} = AO^2 + 64\] \[4AO^2 = 3AO^2 + 192\] \[AO^2 = 192\] \[AO = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}\]

5. Найдем AC:

   AC = 2 * AO = 2 * 8√3 = 16√3 см

6. Найдем AB:

   \[AB = \frac{2AO}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 8\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 16 \text{ см}\]

Ответ: Сторона ромба равна 16 см, вторая диагональ равна 16√3 см.

---

3. Доказательство, что четырехугольник - трапеция

В выпуклом четырехугольнике ABCD AB = 9 см, BC = 8 см, CD = 16 см, AD = 6 см, BD = 12 см. Докажите, что ABCD - трапеция.

Для доказательства, что ABCD - трапеция, нужно показать, что две его стороны параллельны.

Используем признаки подобия треугольников для доказательства параллельности сторон. Рассмотрим треугольники ABD и BCD.

Если \(\frac{AB}{CD} = \frac{AD}{BC} = \frac{BD}{BD}\), то треугольники ABD и BCD подобны, а значит, углы между соответствующими сторонами равны. Если углы равны, то стороны параллельны.

Проверим это условие:

\[\frac{AB}{CD} = \frac{9}{16} = 0.5625\] \[\frac{AD}{BC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0.75\]

Так как \(\frac{AB}{CD}
eq \frac{AD}{BC}\), то условие подобия не выполняется.

Попробуем рассмотреть другие пары сторон. Например, треугольники ABC и ADC.

Необходимо доказать, что какое-то условие параллельности выполняется. Без дополнительных данных или рисунка сложно доказать, что ABCD - трапеция.

Ответ: Недостаточно данных, чтобы доказать, что ABCD - трапеция.

---

4. Равнобедренный треугольник и пропорции

В равнобедренном треугольнике MNK с основанием MK, равным 10 см, MN = NK = 20 см. На стороне NK лежит точка A так, что AK : AN = 1 : 3. Найдите AM.

1. Найдем AK и AN:

   NK = AK + AN = 20 см

   AK : AN = 1 : 3, значит AK = x, AN = 3x

   x + 3x = 20

   4x = 20

   x = 5

   AK = 5 см, AN = 15 см

2. Проведем высоту из N к MK:

   Пусть H - середина MK, тогда MH = HK = 5 см.

   Треугольник NHK - прямоугольный. По теореме Пифагора:

   \[NH^2 = NK^2 - HK^2\] \[NH^2 = 20^2 - 5^2 = 400 - 25 = 375\] \[NH = \sqrt{375} = 5\sqrt{15} \text{ см}\]

3. Рассмотрим треугольник ANH:

   AH можно найти по теореме косинусов или использовать координатный метод, разместив треугольник в системе координат.

   Координатный метод:

   M(-5, 0), K(5, 0), N(0, 5√15)

   A лежит на NK, и AK = 5 см, NK = 20 см. Значит, A(x, y) делит NK в отношении 5:15 = 1:3

   \[x_A = \frac{3x_K + 1x_N}{1+3} = \frac{3 \cdot 5 + 1 \cdot 0}{4} = \frac{15}{4} = 3.75\] \[y_A = \frac{3y_K + 1y_N}{1+3} = \frac{3 \cdot 0 + 1 \cdot 5\sqrt{15}}{4} = \frac{5\sqrt{15}}{4}\]

   A(3.75, \(\frac{5\sqrt{15}}{4}\))

4. Найдем AM:

   A(3.75, \(\frac{5\sqrt{15}}{4}\)), M(-5, 0)

   \[AM = \sqrt{(x_A - x_M)^2 + (y_A - y_M)^2}\] \[AM = \sqrt{(3.75 - (-5))^2 + (\frac{5\sqrt{15}}{4} - 0)^2}\] \[AM = \sqrt{(8.75)^2 + (\frac{25 \cdot 15}{16})}\] \[AM = \sqrt{76.5625 + \frac{375}{16}} = \sqrt{76.5625 + 23.4375} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}\]

Ответ: AM = 10 см.

Ответ: AC и BD не параллельны; DB : AC = 57/76; Сторона ромба равна 16 см, вторая диагональ равна 16√3 см; AM = 10 см.

Молодец! Ты хорошо поработал над этими задачами. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!