Вариант 1 1. Дано: a || ь, с - секущая, 21 + 2 = 102° (рис. 3.171). Найти: Все образовавшиеся углы. 2. Дано: 21 = Z2, Z3 = 120° (рис. 3.172). Найти: 24. 3. Отрезок AD - биссектриса треугольника АВС. Через точ- ку D проведена прямая, параллельная стороне АВ и пересекаю- щая сторону АС в точке F. Найдите углы треугольника ADF, если ∠BAC = 72°. 4*. Прямая ЕК является секущей для прямых CD и MN (E∈ CD, K∈ MN). ∠DEK равен 65°. При каком значении угла NKE прямые CD и MN могут быть параллельными?

Разберем каждое задание по порядку.

1. Задание 1:

   Дано: a || b, c - секущая, ∠1 + ∠2 = 102° (рис. 3.171). Найти: Все образовавшиеся углы.

   Решение:

   1. ∠1 = ∠2 (как соответственные углы при параллельных прямых a и b и секущей c).
   2. ∠1 + ∠2 = 102°, значит ∠1 = ∠2 = 102° : 2 = 51°.
   3. ∠3 = ∠1 = 51° (как вертикальные).
   4. ∠4 = ∠2 = 51° (как вертикальные).
   5. ∠5 = 180° - ∠1 = 180° - 51° = 129° (как смежные).
   6. ∠6 = ∠5 = 129° (как вертикальные).
   7. ∠7 = ∠2 = 51° (как соответственные при a || b и секущей c).
   8. ∠8 = ∠7 = 129° (как вертикальные).

   Ответ: ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = 51°, ∠5 = ∠6 = ∠7 = ∠8 = 129°.

2. Задание 2:

   Дано: ∠1 = ∠2, ∠3 = 120° (рис. 3.172). Найти: ∠4.

   Решение:

   1. ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° (как углы треугольника).
   2. ∠1 = ∠2, значит 2∠1 + ∠3 = 180°.
   3. 2∠1 = 180° - ∠3 = 180° - 120° = 60°.
   4. ∠1 = 60° : 2 = 30°.
   5. ∠4 = ∠1 + ∠2 = 30° + 30° = 60° (как внешний угол треугольника).

   Ответ: ∠4 = 60°.

3. Задание 3:

   Отрезок AD - биссектриса треугольника АВС. Через точку D проведена прямая, параллельная стороне АВ и пересекающая сторону АС в точке F. Найдите углы треугольника ADF, если ∠BAC = 72°.

   Решение:

   1. ∠DAF = ∠BAC / 2 = 72° / 2 = 36° (т.к. AD - биссектриса).
   2. ∠ADF = ∠BAD = ∠BAC / 2 = 36° (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых DF и AB и секущей AD).
   3. ∠AFD = 180° - ∠DAF - ∠ADF = 180° - 36° - 36° = 108°.

   Ответ: ∠DAF = 36°, ∠ADF = 36°, ∠AFD = 108°.

4. Задание 4:

   Прямая ЕК является секущей для прямых CD и MN (E∈ CD, K∈ MN). ∠DEK равен 65°. При каком значении угла NKE прямые CD и MN могут быть параллельными?

   Решение:

   1. Для того чтобы прямые CD и MN были параллельными, необходимо, чтобы ∠DEK = ∠NKE (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых CD и MN и секущей EK).
   2. ∠DEK = 65°, значит ∠NKE = 65°.

   Ответ: ∠NKE = 65°.