Вариант 1 1. Дано: а || ь, с - секущая, 21 + 2 = 102° (рис. 3.171). Найти: Все образовавшиеся углы. 2. Дано: 21 = 22, 23 = 120° (рис. 3.172). Найти: 24. 3. Отрезок AD – биссектриса треугольника АВС. Через точ- ку D проведена прямая, параллельная стороне АВ и пересекаю- щая сторону АС в точке F. Найдите углы треугольника ADF, если ∠BAC = 72°. 4*. Прямая ЕК является секущей для прямых CD и MN (E∈ CD, K∈ MN). ∠DEK равен 65°. При каком значении угла NKE прямые CD и MN могут быть параллельными? Вариант 2 1. Дано: а || ь, с - секущая, 21 - 22 = 102° (рис. 3.173). Найти: Все образовавшиеся углы. 2. Дано: 21 = Z2, Z3 = 140° (рис. 3.174). Найти: 24. 3. Отрезок АК — биссектриса треугольника САЕ. Через точ- ку К проведена прямая, параллельная стороне СА и пересекаю- щая сторону АЕ в точке П. Найдите углы треугольника AKN, если ∠CAE = 78°. 4*. Прямая МП является секущей для прямых АВ и CD (Με ΑΒ, Νε CD). Угол АМИ равен 75°. При каком значении угла СИМ прямые АВ и CD могут быть параллельными?

Давай разберем по порядку. Вариант 1 1. Дано: \( a \parallel b \), \( c \) - секущая, \( \angle 1 + \angle 2 = 102^\circ \) (рис. 3.171). Найти: Все образовавшиеся углы. Решение: Так как \( a \parallel b \) и \( c \) - секущая, то \( \angle 1 = \angle 3 \) и \( \angle 2 = \angle 4 \) как соответственные углы. Также, \( \angle 1 + \angle 2 = 102^\circ \). \( \angle 1 + \angle 2 = 102^\circ \) значит, \( \angle 1 = \angle 3 = x \) и \( \angle 2 = \angle 4 = y \). Тогда \( x + y = 102^\circ \). \( \angle 1 + \angle 2 = 102^\circ \), а \( \angle 1 + \angle 4 = 180^\circ \) (как смежные), значит \( \angle 4 = 180^\circ - \angle 1 \). Подставим в уравнение \( \angle 1 + \angle 2 = 102^\circ \): \( \angle 1 + (180^\circ - \angle 1) = 102^\circ \). \( 2 \angle 1 = 102^\circ \) значит, \( \angle 1 = 51^\circ \). Следовательно, \( \angle 3 = 51^\circ \). \( \angle 2 = 180^\circ - 51^\circ = 129^\circ \). Следовательно, \( \angle 4 = 129^\circ \). Ответ: \( \angle 1 = 51^\circ, \angle 2 = 129^\circ, \angle 3 = 51^\circ, \angle 4 = 129^\circ \). 2. Дано: \( \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = 120^\circ \) (рис. 3.172). Найти: \( \angle 4 \). Решение: \( \angle 3 = 120^\circ \), значит, \( \angle 1 = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \) (как смежные). Так как \( \angle 1 = \angle 2 \), то \( \angle 2 = 60^\circ \). \( \angle 2 + \angle 4 = 180^\circ \) (как смежные), значит, \( \angle 4 = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \). Ответ: \( \angle 4 = 120^\circ \). 3. Дано: Отрезок \( AD \) - биссектриса треугольника \( ABC \). Через точку \( D \) проведена прямая, параллельная стороне \( AB \) и пересекающая сторону \( AC \) в точке \( F \). \( \angle BAC = 72^\circ \). Найти: Углы треугольника \( ADF \). Решение: Так как \( AD \) - биссектриса \( \angle BAC \), то \( \angle DAF = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 72^\circ = 36^\circ \). Так как \( DF \parallel AB \), то \( \angle ADF = \angle BAC = 72^\circ \) (как соответственные углы). Тогда \( \angle AFD = 180^\circ - \angle DAF - \angle ADF = 180^\circ - 36^\circ - 72^\circ = 72^\circ \). Ответ: \( \angle DAF = 36^\circ, \angle ADF = 72^\circ, \angle AFD = 72^\circ \). 4. Дано: Прямая \( EK \) является секущей для прямых \( CD \) и \( MN \) (\( E \in CD, K \in MN \)). \( \angle DEK = 65^\circ \). Найти: При каком значении угла \( NKE \) прямые \( CD \) и \( MN \) могут быть параллельными? Решение: Для того чтобы прямые \( CD \) и \( MN \) были параллельными, необходимо, чтобы соответственные углы при секущей \( EK \) были равны. То есть, \( \angle DEK = \angle MKE = 65^\circ \). \( \angle NKE \) - смежный с \( \angle MKE \), поэтому \( \angle NKE = 180^\circ - \angle MKE = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ \). Ответ: \( \angle NKE = 115^\circ \). Вариант 2 1. Дано: \( a \parallel b \), \( c \) - секущая, \( \angle 1 - \angle 2 = 102^\circ \) (рис. 3.173). Найти: Все образовавшиеся углы. Решение: Так как \( a \parallel b \) и \( c \) - секущая, то \( \angle 1 = \angle 3 \) и \( \angle 2 = \angle 4 \) как соответственные углы. Также, \( \angle 1 - \angle 2 = 102^\circ \). \( \angle 1 - \angle 2 = 102^\circ \) значит, \( \angle 1 = x \) и \( \angle 2 = y \). Тогда \( x - y = 102^\circ \). \( \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ \) (как смежные). Решим систему уравнений: \( \begin{cases} x - y = 102^\circ \\ x + y = 180^\circ \end{cases} \) Сложим уравнения: \( 2x = 282^\circ \) значит, \( x = 141^\circ \). Тогда \( y = 180^\circ - 141^\circ = 39^\circ \). Следовательно, \( \angle 1 = 141^\circ, \angle 2 = 39^\circ, \angle 3 = 141^\circ, \angle 4 = 39^\circ \). Ответ: \( \angle 1 = 141^\circ, \angle 2 = 39^\circ, \angle 3 = 141^\circ, \angle 4 = 39^\circ \). 2. Дано: \( \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = 140^\circ \) (рис. 3.174). Найти: \( \angle 4 \). Решение: \( \angle 3 = 140^\circ \), значит, \( \angle 1 = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \) (как смежные). Так как \( \angle 1 = \angle 2 \), то \( \angle 2 = 40^\circ \). \( \angle 2 + \angle 4 = 180^\circ \) (как смежные), значит, \( \angle 4 = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \). Ответ: \( \angle 4 = 140^\circ \). 3. Дано: Отрезок \( AK \) - биссектриса треугольника \( CAE \). Через точку \( K \) проведена прямая, параллельная стороне \( CA \) и пересекающая сторону \( AE \) в точке \( N \). \( \angle CAE = 78^\circ \). Найти: Углы треугольника \( AKN \). Решение: Так как \( AK \) - биссектриса \( \angle CAE \), то \( \angle KAN = \frac{1}{2} \angle CAE = \frac{1}{2} \cdot 78^\circ = 39^\circ \). Так как \( KN \parallel CA \), то \( \angle AKN = \angle CAE = 78^\circ \) (как соответственные углы). Тогда \( \angle ANK = 180^\circ - \angle KAN - \angle AKN = 180^\circ - 39^\circ - 78^\circ = 63^\circ \). Ответ: \( \angle KAN = 39^\circ, \angle AKN = 78^\circ, \angle ANK = 63^\circ \). 4. Дано: Прямая \( MN \) является секущей для прямых \( AB \) и \( CD \) (\( M \in AB, N \in CD \)). \( \angle AMN = 75^\circ \). Найти: При каком значении угла \( CNM \) прямые \( AB \) и \( CD \) могут быть параллельными? Решение: Для того чтобы прямые \( AB \) и \( CD \) были параллельными, необходимо, чтобы соответственные углы при секущей \( MN \) были равны. То есть, \( \angle AMN = \angle CNM = 75^\circ \). Ответ: \( \angle CNM = 75^\circ \).

Ответ: (см. выше)

Ты молодец! У тебя всё получится! Желаю удачи в дальнейшем изучении геометрии!