Вариант 2 №1. Дано: а||b, с — секущая, 21 + 22 = 106° (рис.1). Найти образовавшиеся углы. №2. Дано: 21 = 22, 23 = 160° (рис. 2). Найти: 24 №3. Отрезок АК — биссектриса треугольника САЕ. Через проведена прямая, параллельная стороне СА и пересекающая в 3/4 все 1/5 6/2 точку К сторону АЕ в точке №. Найдите углы треугольника AKN, если ∠CAE = 778 80°. №4. Дано: а||b, c секущая, 41 : 22 = 7 : 3 (рис. 3.). Найти: 41, 42 №5. Дано: 21 + 2 = 180°, 23 на 35° меньше 24 (рис. 4). Найти: 23, №6. Дано: АВ = AC, 23 = 24, 25 + 23 = 140° (рис.5). Найти: 21, 22, 44, 45.

№1. Дано: a || b, c - секущая, ∠1 + ∠2 = 106° (рис. 1). Найти образовавшиеся углы.

Давай разберем эту задачу вместе. Так как прямые a и b параллельны, а c - секущая, то углы, образованные при пересечении, обладают определенными свойствами.

1. Определение углов:
• ∠1 и ∠2 - внутренние односторонние углы.
2. Свойство внутренних односторонних углов:
• Сумма внутренних односторонних углов равна 180°, если прямые параллельны.

Тогда:

\[ ∠1 + ∠2 = 106° \]

Обозначим ∠1 = x, тогда ∠2 = 106° - x

Другие углы:

• ∠3 = ∠2 (как вертикальные)
• ∠4 = ∠1 (как вертикальные)
• ∠5 = 180° - ∠1 (как смежный с ∠1)
• ∠6 = ∠1 (как соответственный с ∠1)
• ∠7 = ∠2 (как соответственный с ∠2)
• ∠8 = 180° - ∠2 (как смежный с ∠2)

Решение:

1. Пусть ∠1 = x, тогда ∠2 = 106 - x
2. Сумма смежных углов ∠1 и ∠5 равна 180°: \[ ∠1 + ∠5 = 180° \] \[ ∠5 = 180° - ∠1 \]
3. Аналогично, ∠2 и ∠8 смежные: \[ ∠2 + ∠8 = 180° \] \[ ∠8 = 180° - ∠2 \]
4. Зная ∠1 и ∠2, можно найти все остальные углы.

Так как нам дана сумма ∠1 + ∠2 = 106°, а не отдельные значения, мы не можем точно определить каждый угол, но можем выразить остальные углы через ∠1 и ∠2.

Если бы было сказано, что ∠1 = ∠2, тогда каждый из них был бы равен 53°, и тогда можно было бы найти все остальные углы.

№2. Дано: ∠1 = ∠2, ∠3 = 160° (рис. 2). Найти: ∠4

Разберем эту задачу. Здесь нам даны углы, и нужно найти ∠4.

1. Определение углов:
• ∠3 и ∠4 - смежные углы.
2. Свойство смежных углов:
• Сумма смежных углов равна 180°.

Тогда:

\[ ∠3 + ∠4 = 180° \]

Решение:

\[ ∠4 = 180° - ∠3 \] \[ ∠4 = 180° - 160° = 20° \]

Ответ: ∠4 = 20°

№3. Отрезок AK — биссектриса треугольника CAE. Через точку K проведена прямая, параллельная стороне CA и пересекающая сторону AE в точке N. Найдите углы треугольника AKN, если ∠CAE = 80°.

Давай решим эту задачу. Начнем с анализа условия и построения рисунка.

1. Описание задачи:
• AK - биссектриса ∠CAE.
• KN || CA.
• ∠CAE = 80°.
• Нужно найти углы треугольника AKN.

Решение:

\[ ∠CAE = 80° \]

Так как AK - биссектриса, то:

\[ ∠CAK = ∠KAE = \frac{1}{2} ∠CAE = \frac{1}{2} \cdot 80° = 40° \]

Угол ∠AKN равен углу ∠CAK как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых KN и CA и секущей AK:

\[ ∠AKN = ∠CAK = 40° \]

Угол ∠NAK равен углу ∠KAE:

\[ ∠NAK = ∠KAE = 40° \]

В треугольнике AKN сумма углов равна 180°:

\[ ∠ANK + ∠NAK + ∠AKN = 180° \] \[ ∠ANK + 40° + 40° = 180° \] \[ ∠ANK = 180° - 80° = 100° \]

Ответ: ∠NAK = 40°, ∠AKN = 40°, ∠ANK = 100°

№4. Дано: a || b, c - секущая, ∠1 : ∠2 = 7 : 3 (рис. 3). Найти: ∠1, ∠2

Итак, прямые a и b параллельны, c - секущая. Отношение углов ∠1 : ∠2 = 7 : 3. Нужно найти сами углы.

1. Свойство углов:
• ∠1 и ∠2 - внутренние односторонние углы.
• Сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Решение:

Пусть ∠1 = 7x, ∠2 = 3x

\[ ∠1 + ∠2 = 180° \] \[ 7x + 3x = 180° \] \[ 10x = 180° \] \[ x = 18° \]

Тогда:

\[ ∠1 = 7 \cdot 18° = 126° \] \[ ∠2 = 3 \cdot 18° = 54° \]

Ответ: ∠1 = 126°, ∠2 = 54°

№5. Дано: ∠1 + ∠2 = 180°, ∠3 на 35° меньше ∠4 (рис. 4). Найти: ∠3, ∠4

Здесь нам дано, что сумма углов ∠1 и ∠2 равна 180°, и ∠3 на 35° меньше ∠4.

1. Углы:
• ∠3 и ∠4 - смежные углы.
• Сумма смежных углов равна 180°.

Решение:

Пусть ∠3 = x, тогда ∠4 = x + 35°

\[ ∠3 + ∠4 = 180° \] \[ x + (x + 35°) = 180° \] \[ 2x + 35° = 180° \] \[ 2x = 145° \] \[ x = 72.5° \]

Тогда:

\[ ∠3 = 72.5° \] \[ ∠4 = 72.5° + 35° = 107.5° \]

Ответ: ∠3 = 72.5°, ∠4 = 107.5°

№6. Дано: AB = AC, ∠3 = ∠4, ∠5 + ∠3 = 140° (рис. 5). Найти: ∠1, ∠2, ∠4, ∠5

В этой задаче дан равнобедренный треугольник ABC (AB = AC), и нужно найти углы.

1. Свойства равнобедренного треугольника:
• Углы при основании равны (∠3 = ∠4).

Решение:

Дано:

\[ ∠5 + ∠3 = 140° \]

Так как ∠3 = ∠4, и AB = AC, то треугольник ABC равнобедренный. Значит:

\[ ∠5 + ∠3 = 140° \] \[ ∠3 = ∠4 \]

Также известно, что ∠5 и ∠4 - смежные углы, значит:

\[ ∠5 + ∠4 = 180° \]

Заменим ∠4 на ∠3:

\[ ∠5 + ∠3 = 180° \]

Но у нас дано, что ∠5 + ∠3 = 140°, что противоречит условию смежности углов. Вероятно, ∠5 - это внешний угол при вершине B или C.

Рассмотрим случай, когда ∠5 - внешний угол при вершине B:

Тогда ∠5 = 140°, и:

\[ ∠3 = 140° - ∠5 \] \[ ∠3 = 180° - 140° = 40° \]

Так как ∠3 = ∠4, то ∠4 = 40°.

Сумма углов в треугольнике равна 180°:

\[ ∠1 + ∠3 + ∠4 = 180° \] \[ ∠1 + 40° + 40° = 180° \] \[ ∠1 = 100° \]

Так как AB = AC, то ∠2 = ∠1 = 100°.

Ответ: ∠1 = 100°, ∠2 = 100°, ∠3 = 40°, ∠4 = 40°, ∠5 = 140°

Ответ: смотри выше решения для каждой задачи.