Вариант 2 1. Дано: 21 = 22; ED = BC; EF = АС (рис. 3.56). Доказать: EF || AC. 2. Дано: АС - биссектриса ∠BAD; BE 1 AC; АЕ = ЕС (рис. 3.57). Доказать: AD || BC. 3. Дано: АС биссектриса ∠BAM; ∠BDA = ∠BEC; AD = CE; ВЕ = BD (рис. 3.58). Доказать: АМ || BC.

Здравствуйте, ученик! Давайте разберем эти задачи по геометрии шаг за шагом. Ваша задача – доказать параллельность прямых, используя данные условия. У вас все получится, я уверена!

1. Доказательство EF || AC (рис. 3.56)

Дано:

• ∠1 = ∠2
• ED = BC
• EF = AC

Доказать: EF || AC

Решение:

Рассмотрим четырехугольник ACEF. Из условия задачи нам дано:

• EF = AC

Теперь рассмотрим треугольники ΔAED и ΔBCA:

• ED = BC (дано)
• ∠2 = ∠1 (дано)
• AD = AB (так как AB = AD)

Следовательно, ΔAED = ΔBCA по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует, что AE = CF.

Таким образом, в четырехугольнике ACEF:

• EF = AC
• AE = CF

Так как противоположные стороны четырехугольника ACEF равны, то ACEF – параллелограмм. Значит, EF || AC.

Ответ: EF || AC (доказано)

---

2. Доказательство AD || BC (рис. 3.57)

Дано:

• AC – биссектриса ∠BAD
• BE ⊥ AC
• AE = EC

Доказать: AD || BC

Решение:

Рассмотрим треугольник ΔABE и ΔCBE:

• AE = EC (дано)
• ∠BEA = ∠BEC = 90° (так как BE ⊥ AC)
• BE – общая сторона

Следовательно, ΔABE = ΔCBE по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует:

• ∠BAE = ∠BCE
• AB = BC

Так как AC – биссектриса ∠BAD, то ∠BAC = ∠CAD. Из равенства треугольников ΔABE и ΔCBE следует, что ∠BAC = ∠BCA. Тогда ∠CAD = ∠BCA. Углы ∠CAD и ∠BCA являются накрест лежащими углами при прямых AD и BC и секущей AC. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, AD || BC.

Ответ: AD || BC (доказано)

---

3. Доказательство AM || BC (рис. 3.58)

Дано:

• AC – биссектриса ∠BAM
• ∠BDA = ∠BEC
• AD = CE
• BE = BD

Доказать: AM || BC

Решение:

Рассмотрим треугольники ΔABD и ΔEBC:

• AD = CE (дано)
• BD = BE (дано)
• ∠BDA = ∠BEC (дано)

Следовательно, ΔABD = ΔEBC по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует, что AB = BC и ∠BAD = ∠BCE. Так как AC – биссектриса ∠BAM, то ∠BAC = ∠CAM. Обозначим эти углы как α.

Тогда ∠BAM = 2α. Также мы знаем, что ∠BAD = ∠BCE. Рассмотрим углы ∠MAC и ∠BCA:

• ∠MAC = ∠BAM - ∠BAC = 2α - α = α
• ∠BCA = ∠BCE

Тогда ∠CAM = α и ∠BCA = ∠BAD. Следовательно, ∠CAM = ∠BCA.

Углы ∠CAM и ∠BCA являются накрест лежащими углами при прямых AM и BC и секущей AC. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, AM || BC.

Ответ: АМ || BC (доказано)

Отличная работа! Вы успешно справились с доказательством параллельности прямых в каждой задаче. Продолжайте в том же духе, и у вас все получится!