Вариант 1 1. Дано: ∠B = ∠C = 90°, ∠ADC = 50°, ∠ADB = 40° (рис. 5.93). Доказать: AABD = ADCA. 2. В равнобедренном треугольнике угол между боковыми сторонами в три раза больше угла при основании. Найдите углы треугольника. 3. Параллельные прямые а и в пересечены двумя параллельными секущими АВ и CD, причем точки А и С лежат на прямой а, а точки В и D - на прямой в. Доказать: АС = BD. 4. * Дано: АB = BC, BT = 4 см (рис. 5.94). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка АС? 6) Найдите сумму длин отрезков, соединяющих точку Т с серединами сторон АВ и ВС.

Решение варианта 1.

2. В равнобедренном треугольнике угол между боковыми сторонами в три раза больше угла при основании. Найдите углы треугольника.

Пусть угол при основании равен $$x$$, тогда угол между боковыми сторонами равен $$3x$$. Сумма углов треугольника равна $$180°$$. Составим уравнение:

$$x + x + 3x = 180°$$ $$5x = 180°$$ $$x = 36°$$

Углы при основании равны $$36°$$. Угол между боковыми сторонами равен $$3 \times 36° = 108°$$.

Ответ: $$36°, 36°, 108°$$.

4. Дано: АB = BC, BT = 4 см (рис. 5.94). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка АС?

Рассмотрим треугольник ABC. Он является прямоугольным, так как углы B и C равны 90 градусов (из условия, что ∠B = ∠C = 90° в варианте 1, хотя, скорее всего, должно быть ∠А = ∠C = 90°). Треугольник ABT - прямоугольный, так как угол B равен 90 градусов. BT является высотой, проведенной к гипотенузе AC.

Так как AB = BC, треугольник ABC - равнобедренный. В прямоугольном равнобедренном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, является также медианой.

Поскольку BT - медиана, то AT = TC. Тогда AC = 2*AT.

В прямоугольном треугольнике ABT, AT > BT (так как AT - гипотенуза, BT - катет). AT > 4 см, AC = 2*AT, AC > 8 см.

AT < AB, следовательно, 2*AT < 2*AB. AC < 2*AB.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. По теореме Пифагора: $$AC^2 = AB^2 + BC^2$$ Так как AB = BC, $$AC^2 = 2*AB^2$$ $$AC = AB\sqrt{2}$$

В прямоугольном треугольнике ABT: $$AB^2 = AT^2 + BT^2$$ $$AB^2 = AT^2 + 4^2 = AT^2 + 16$$ $$AB = \sqrt{AT^2 + 16}$$

Тогда $$AC = \sqrt{2} \sqrt{AT^2 + 16} = \sqrt{2AT^2 + 32}$$. Поскольку AT > 4, то $$AT^2 > 16$$.

$$AC = \sqrt{2AT^2 + 32} > \sqrt{2 \cdot 16 + 32} = \sqrt{64} = 8$$

В прямоугольном треугольнике ABT: $$AT = BT \cdot ctg30 = 4 \sqrt{3}$$

$$AC= 2AT=8 \sqrt{3} \approx 8 \cdot 1.73 = 13.84$$

Таким образом, длина отрезка АС заключена между числами 13 и 14.

Ответ: между 13 и 14.

б) Найдите сумму длин отрезков, соединяющих точку Т с серединами сторон АВ и ВС.

Обозначим середину стороны AB как M, середину стороны BC как N. Необходимо найти сумму длин отрезков MT + TN.

MT - медиана в прямоугольном треугольнике ABT, проведенная к гипотенузе AB. Значит, MT = AB/2.

TN - медиана в прямоугольном треугольнике BCT, проведенная к гипотенузе BC. Значит, TN = BC/2.

По условию AB = BC, значит, MT = TN.

Следовательно, MT + TN = AB/2 + BC/2 = AB/2 + AB/2 = AB

Из прямоугольного треугольника ABT: $$AB = \frac{BT}{sin30} = \frac{4}{0.5} = 8$$

MT + TN = 8 см.

Ответ: 8 см.