Вариант 2 1. Дан прямоугольный треугольник АВС (∠C = 90°). Точка Е принадлежит стороне ВС. Отрезок ЕМ перпендикулярен плоскости АВС. Докажите, что прямая АС перпендикулярна МВ. 2. АВСК – квадрат со стороной 4 см. О - точка пересечения его диагоналей. Отрезок ОМ перпендикулярен плоскости АВСК, причем ОМ = 1см. Найти расстояния от точки М до вершин квадрата. 3. Из точки М проведен перпендикуляр MD, равный 6 см, к плоскости квадрата ABCD. Наклонная МВ образует с плоскостью квадрата угол 60°. а) Докажите, что треугольники МАВ и МСВ прямоугольные. 6) Найдите стороны квадрата.

Решение:

1. Найдем AO:

Так как ABCK — квадрат, его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Диагональ квадрата можно найти по формуле \(d = a\sqrt{2}\), где \(a\) — сторона квадрата. В нашем случае, \(a = 4\) см.

\[d = 4\sqrt{2}\]

Следовательно, \(AO = \frac{d}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\) см.

2. Найдем AM:

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOM (так как OM перпендикулярна плоскости ABCK). По теореме Пифагора:

\[AM^2 = AO^2 + OM^2\]

\[AM^2 = (2\sqrt{2})^2 + 1^2\]

\[AM^2 = 8 + 1 = 9\]

\[AM = \sqrt{9} = 3\] см.

3. Расстояния до других вершин:

Так как квадрат симметричен относительно точки O, расстояния от точки M до вершин A, B, C и K будут одинаковы. Значит, \(AM = BM = CM = KM = 3\) см.

Задача 3: Доказательство и нахождение стороны квадрата

Дано: MD = 6 см, угол между MB и плоскостью ABCD равен 60°.

а) Доказать, что треугольники MAB и MCB прямоугольные.

б) Найти стороны квадрата.

Решение:

а) Докажем, что треугольники MAB и MCB прямоугольные:

1. Рассмотрим треугольник MDB:

MD перпендикулярна плоскости ABCD, значит, угол MDB = 90°. Треугольник MDB — прямоугольный.

2. Найдем DB:

Угол между MB и плоскостью ABCD — это угол MBD, который равен 60°. В прямоугольном треугольнике MDB:

\[\tan(\angle MBD) = \frac{MD}{DB}\]

\[\tan(60^\circ) = \frac{6}{DB}\]

\[DB = \frac{6}{\tan(60^\circ)} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\] см.

3. Найдем сторону квадрата:

DB — диагональ квадрата ABCD. Пусть сторона квадрата равна a. Тогда, по теореме Пифагора:

\[a^2 + a^2 = DB^2\]

\[2a^2 = (2\sqrt{3})^2\]

\[2a^2 = 12\]

\[a^2 = 6\]

\[a = \sqrt{6}\] см.

4. Найдем MB:

В прямоугольном треугольнике MDB:

\[\cos(\angle MBD) = \frac{DB}{MB}\]

\[\cos(60^\circ) = \frac{2\sqrt{3}}{MB}\]

\[MB = \frac{2\sqrt{3}}{\cos(60^\circ)} = \frac{2\sqrt{3}}{0.5} = 4\sqrt{3}\] см.

5. Проверим, являются ли треугольники MAB и MCB прямоугольными:

Для этого нужно проверить, выполняется ли теорема Пифагора для этих треугольников. Рассмотрим треугольник MAB:

\[MA^2 = MD^2 + AD^2 = 6^2 + (\sqrt{6})^2 = 36 + 6 = 42\]

\[AB^2 = (\sqrt{6})^2 = 6\]

\[MB^2 = (4\sqrt{3})^2 = 48\]

Так как \(MA^2 + AB^2 = 42 + 6 = 48 = MB^2\), то треугольник MAB — прямоугольный (по обратной теореме Пифагора).

Аналогично можно доказать, что треугольник MCB — прямоугольный.

б) Найдем стороны квадрата:

Сторона квадрата \(a = \sqrt{6}\) см.

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей. У тебя все получается! Не останавливайся на достигнутом, и покоряй новые вершины!