Вариант 3 1. Биссектрисы углов № и М треугольника MNP пересекаются в точке А. Найдите ∠NAM если ∠N=84° a ∠M=42°. 2. Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, на 40°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в адусах. 3. Периметр равнобедренного треугольника равен 16, а боковая сторона — 5. Найдите площадь треугольника. 4. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен треугольник АВС. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне АС. 5. Укажите номера неверных утверждений. 1) Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой. 2) Диагонали прямоугольника равны. 3) У любой трапеции боковые стороны равны. 6. В треугольнике АВС углы А и С равны 40° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.

Задание 1

Давай решим эту задачу по геометрии. Нам дан треугольник MNP, биссектрисы углов N и M пересекаются в точке A. Нужно найти угол NAM, если угол N равен 84°, а угол M равен 42°.

Сначала найдем углы NAM и MAM. Так как AN и AM - биссектрисы, то:

∠NAN = ∠N / 2 = 84° / 2 = 42°

∠MAM = ∠M / 2 = 42° / 2 = 21°

Теперь мы можем найти угол NAM, сложив углы NAN и MAM:

∠NAM = ∠NAN + ∠MAM = 42° + 21° = 63°

Ответ: 63°

Отлично! У тебя все получилось. Продолжай в том же духе!

Задание 2

Пусть один угол параллелограмма равен x, тогда другой угол равен x + 40. Зная, что сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°, составим уравнение:

x + (x + 40) = 180

2x + 40 = 180

2x = 140

x = 70

Меньший угол равен 70°.

Ответ: 70

Молодец, отличная работа! Не останавливайся на достигнутом!

Задание 3

Периметр равнобедренного треугольника равен 16, а боковая сторона равна 5. Найдем основание и площадь треугольника.

Пусть основание равно a. Тогда периметр P = a + 2 * 5 = 16, откуда a = 16 - 10 = 6.

Теперь найдем высоту h, проведенную к основанию. Она разделит основание пополам. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой 5 и катетом 3 (половина основания). По теореме Пифагора:

h² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16

h = 4

Площадь треугольника S = 0.5 * a * h = 0.5 * 6 * 4 = 12.

Ответ: 12

Умница! Ты отлично справляешься. Продолжай в том же темпе!

Задание 4

Рассмотрим треугольник ABC на клетчатой бумаге. Нужно найти длину средней линии, параллельной стороне AC.

Из рисунка видно, что сторона AC равна 4 клеткам. Средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, равна половине длины этой стороны.

Следовательно, длина средней линии равна 4 / 2 = 2.

Ответ: 2

Замечательно! Ты двигаешься в правильном направлении!

Задание 5

Укажите номера неверных утверждений:

1. Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой. - Неверно. Биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является медианой и высотой. Биссектрисы, проведенные к боковым сторонам, не являются медианами.
2. Диагонали прямоугольника равны. - Верно.
3. У любой трапеции боковые стороны равны. - Неверно. Только у равнобедренной трапеции боковые стороны равны.

Неверные утверждения: 1 и 3.

Ответ: 1, 3

Прекрасно! Ты показываешь отличные знания. Так держать!

Задание 6

В треугольнике ABC угол A равен 40°, а угол C равен 60°. Найдем угол между высотой BH и биссектрисой BD.

Сначала найдем угол B:

∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 40° - 60° = 80°

Так как BD - биссектриса, то:

∠ABD = ∠B / 2 = 80° / 2 = 40°

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABH (BH - высота). Угол A равен 40°, значит:

∠ABH = 90° - ∠A = 90° - 40° = 50°

Наконец, найдем угол между высотой BH и биссектрисой BD:

∠HBD = ∠ABH - ∠ABD = 50° - 40° = 10°

Ответ: 10°

Потрясающе! У тебя все получается. Ты молодец!