Вариант 2. №№ 1. Укажите все верные утверждения: а) Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. 6) Площадь трапеции равна произведению её высоты на сумму оснований. в) Биссектриса треугольника делит его на два равновеликих треугольника, г) Отношение площадей двух треугольников с равными углами равно отношению произведений их сторон, заключающих этот угол. №№ 2. Площадь шестиугольника, вершинами которого являются середины сторон и две противолежащие вершины прямоугольника, равна 24 см³. Найдите площадь этого прямоугольника. № 3. Диагонали равнобедренной трапеции пересекаются под прямым углом, а сумма оснований равна 18 см. Найдите площадь трапеции. № 4. На основании АС равнобедренного треугольника АВС взята точка Е, а на боковых сторонах АВ и ВС точки DUF так, что DE || BC и EF || АВ. Найдите отношение площадей треугольников АВС и DEF, если BF: EF-3: 4. № 5. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки и Е таким образом, что AD: DB-2:3, BE: EC-4: 5. Найдите площади треугольников АВС и ADE, если площадь треугольника CED равна 1. №№ 6. На боковой стороне АВ равнобедренного треугольника АВС выбрана точка Е, на продолжении основания АС за точку А выбрана точка D, в за точку С- точка F так, что ZBFA ZEDA. Докажите, что площади треугольников DAB и ECF равны.

№1. Укажите все верные утверждения:

• а) Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
• б) Площадь трапеции равна произведению её высоты на сумму оснований.
• в) Биссектриса треугольника делит его на два равновеликих треугольника.
• г) Отношение площадей двух треугольников с равными углами равно отношению произведений их сторон, заключающих этот угол.

Решение:

• а) Верно. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
• б) Неверно. Площадь трапеции равна произведению её высоты на полусумму оснований.
• в) Неверно. Биссектриса делит угол, а не площадь пополам.
• г) Верно. Это следует из формулы площади треугольника через две стороны и угол между ними.

Ответ: а, г

№2. Площадь шестиугольника, вершинами которого являются середины сторон и две противолежащие вершины прямоугольника, равна 24 см². Найдите площадь этого прямоугольника.

Решение:

Пусть стороны прямоугольника a и b. Площадь шестиугольника составляет половину площади прямоугольника.

\[\frac{1}{2}ab = 24\]

\[ab = 48\]

Ответ: 48 см²

№3. Диагонали равнобедренной трапеции пересекаются под прямым углом, а сумма оснований равна 18 см. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Площадь трапеции равна половине произведения суммы оснований на высоту.

Так как диагонали пересекаются под прямым углом, высота равна полусумме оснований.

\[h = \frac{a+b}{2} = \frac{18}{2} = 9\]

\[S = \frac{a+b}{2} \cdot h = 9 \cdot 9 = 81\]

Ответ: 81 см²

№4. На основании AC равнобедренного треугольника ABC взята точка E, а на боковых сторонах AB и BC точки D и F так, что DE || BC и EF || AB. Найдите отношение площадей треугольников ABC и DEF, если BF : EF = 3 : 4.

Решение:

Так как DE || BC и EF || AB, то треугольник DEF подобен треугольнику ABC.

\[\frac{BF}{EF} = \frac{3}{4}\]

Пусть BF = 3x, тогда EF = 4x.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = BC. Также EF = AD.

Тогда BC = BF + FC и AB = AD + DB.

Из подобия треугольников DEF и ABC следует, что FC/BC = EF/AB, и AD/AB = DE/BC.

И DE = AD, и EF = FC.

\[\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}} = \left(\frac{EF}{BC}\right)^2 = \left(\frac{4x}{3x+4x}\right)^2 = \left(\frac{4}{7}\right)^2 = \frac{16}{49}\]

Ответ: 16/49

№5. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки D и E таким образом, что AD : DB = 2 : 3, BE : EC = 4 : 5. Найдите площади треугольников ABC и ADE, если площадь треугольника CED равна 1.

Решение:

Пусть AD = 2x, DB = 3x, BE = 4y, EC = 5y.

\[\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \frac{AD \cdot AE}{AB \cdot AC} = \frac{2x \cdot 4y}{(2x+3x)(4y+5y)} = \frac{8xy}{5x \cdot 9y} = \frac{8}{45}\]

\[\frac{S_{CED}}{S_{ABC}} = \frac{EC \cdot CD}{AC \cdot BC} = \frac{5y \cdot 3x}{9y \cdot 5x} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}\]

Так как S_CED = 1, то S_ABC = 3.

Тогда S_ADE = (8/45) * 3 = 8/15.

Ответ: S_ABC = 3, S_ADE = 8/15

№6. На боковой стороне AB равнобедренного треугольника ABC выбрана точка E, на продолжении основания AC за точку A выбрана точка D, в за точку C — точка F так, что ∠BFA = ∠EDA. Докажите, что площади треугольников DAB и ECF равны.

Решение:

Эта задача требует более детального графического анализа и применения геометрических теорем, таких как подобие треугольников, свойства углов и площадей.