Вариант № 2 1. Последовательность задана формулой ап = 3n + n - 3. Найдите первый, пятый и десятый члены этой последовательности. 2. Найдите пять первых членов арифметической прогрессии (ап), если аг =-1,2; d = 0,3. 3. Клиент взял в банке кредит 600 000 рублей на 2 года под 14% годовых. Сколько ежемесячно, учитывая проценты, он должен отдавать банку, чтобы погасить кредит вовремя? 4. Найдите знаменатель, пятый и десятый члены геометрической прогрессии: 0,125; 0,25;... 5. Найти третий член бесконечно убывающей геометрической 3 прогрессии, если сумма её членов равна 8, а знаменатель равен 1-3 3

1. Последовательность

Для нахождения членов последовательности подставим значения n = 1, 5, 10 в формулу an = 3n + n - 3.

• Первый член (n = 1):

  \[ a_1 = 3^1 + 1 - 3 = 3 + 1 - 3 = 1 \]

• Пятый член (n = 5):

  \[ a_5 = 3^5 + 5 - 3 = 243 + 5 - 3 = 245 \]

• Десятый член (n = 10):

  \[ a_{10} = 3^{10} + 10 - 3 = 59049 + 10 - 3 = 59056 \]

2. Арифметическая прогрессия

Для нахождения пяти первых членов арифметической прогрессии используем формулу an = a1 + (n - 1)d.

• Первый член: a1 = -1,2
• Второй член (n = 2):

  \[ a_2 = -1.2 + (2 - 1) \, \cdot \, 0.3 = -1.2 + 0.3 = -0.9 \]

• Третий член (n = 3):

  \[ a_3 = -1.2 + (3 - 1) \cdot 0.3 = -1.2 + 0.6 = -0.6 \]

• Четвертый член (n = 4):

  \[ a_4 = -1.2 + (4 - 1) \cdot 0.3 = -1.2 + 0.9 = -0.3 \]

• Пятый член (n = 5):

  \[ a_5 = -1.2 + (5 - 1) \cdot 0.3 = -1.2 + 1.2 = 0 \]

3. Кредит

Для расчета ежемесячного платежа по кредиту используем формулу аннуитетного платежа:

\[ M = S \cdot \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n - 1} \]

Где:

• M - ежемесячный платеж,
• S - сумма кредита (600 000 рублей),
• i - месячная процентная ставка (14% годовых / 12 месяцев = 0.14 / 12 ≈ 0.011667),
• n - количество месяцев (2 года * 12 месяцев = 24 месяца).

Подставим значения в формулу:

\[ M = 600000 \cdot \frac{0.011667(1+0.011667)^{24}}{(1+0.011667)^{24} - 1} \]

Вычислим:

\[ (1+0.011667)^{24} ≈ 1.331 \]

\[ M = 600000 \cdot \frac{0.011667 \cdot 1.331}{1.331 - 1} = 600000 \cdot \frac{0.01552}{0.331} ≈ 600000 \cdot 0.0469 ≈ 28140 \]

Ежемесячный платеж составит примерно 28140 рублей.

4. Геометрическая прогрессия

Найдём знаменатель q геометрической прогрессии, разделив второй член на первый:

\[ q = \frac{0.25}{0.125} = 2 \]

Теперь найдём пятый и десятый члены прогрессии, используя формулу bn = b1 * q^(n-1).

• Пятый член (n = 5):

  \[ b_5 = 0.125 \cdot 2^{5-1} = 0.125 \cdot 2^4 = 0.125 \cdot 16 = 2 \]

• Десятый член (n = 10):

  \[ b_{10} = 0.125 \cdot 2^{10-1} = 0.125 \cdot 2^9 = 0.125 \cdot 512 = 64 \]

5. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Дано:

• Сумма членов: S = 3/8
• Знаменатель: q = -1/3

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

\[ S = \frac{b_1}{1 - q} \]

Выразим первый член b1:

\[ b_1 = S \cdot (1 - q) \]

Подставим значения:

\[ b_1 = \frac{3}{8} \cdot (1 - (-\frac{1}{3})) = \frac{3}{8} \cdot (1 + \frac{1}{3}) = \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{2} \]

Теперь найдём третий член b3, используя формулу bn = b1 * q^(n-1):

\[ b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2 = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{18} \]