Вариант № 4 1. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 18см, а одна из сторон рана 5 см. 2. Найдите площадь квадрата, если его периметр равен 20см. 3. Найдите площадь параллелограмма, если его стороны раны 5см и 6см, а угол между ними равен 60°. 4. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 8см и 7см. 5. Найти площадь равнобедренного треугольника со сторонами 10см, 10см и 16см. 6. По данным рисунка найдите площадь трапеции ABCD.

Решим задачи.

<h3>1.</h3>

Периметр прямоугольника равен сумме длин всех его сторон. Обозначим длину прямоугольника буквой a, ширину - буквой b. Тогда периметр P = 2a + 2b. По условию, P = 18 см, a = 5 см. Подставим значения в формулу периметра:

$$ 18 = 2 \cdot 5 + 2b $$ $$ 18 = 10 + 2b $$ $$ 2b = 18 - 10 $$ $$ 2b = 8 $$ $$ b = 4 \text{ см} $$

Площадь прямоугольника S равна произведению его длины на ширину:

$$ S = a \cdot b = 5 \cdot 4 = 20 \text{ см}^2 $$

Ответ: 20 см²

<h3>2.</h3>

Периметр квадрата равен сумме длин всех его сторон. У квадрата все стороны равны, поэтому периметр P = 4a, где a - длина стороны квадрата. По условию, P = 20 см. Тогда:

$$ 4a = 20 $$ $$ a = 5 \text{ см} $$

Площадь квадрата S равна квадрату его стороны:

$$ S = a^2 = 5^2 = 25 \text{ см}^2 $$

Ответ: 25 см²

<h3>3.</h3>

Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними:

$$ S = a \cdot b \cdot \sin \alpha $$

В нашем случае a = 5 см, b = 6 см, α = 60°. Тогда:

$$ S = 5 \cdot 6 \cdot \sin 60° = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3} \text{ см}^2 $$

Ответ: $$15\sqrt{3}$$ см²

<h3>4.</h3>

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

$$ S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 $$

В нашем случае d₁ = 8 см, d₂ = 7 см. Тогда:

$$ S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 7 = 28 \text{ см}^2 $$

Ответ: 28 см²

<h3>5.</h3>

Площадь равнобедренного треугольника можно найти по формуле Герона:

$$ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $$

где p - полупериметр треугольника, a, b, c - его стороны.

В нашем случае a = 10 см, b = 10 см, c = 16 см. Тогда:

$$ p = \frac{10 + 10 + 16}{2} = 18 \text{ см} $$ $$ S = \sqrt{18(18-10)(18-10)(18-16)} = \sqrt{18 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 2} = \sqrt{2304} = 48 \text{ см}^2 $$

Ответ: 48 см²

<h3>6.</h3>

Рассмотрим треугольник CDH. Он прямоугольный, угол C равен 30°. Тогда катет DH равен половине гипотенузы CD:

$$ DH = \frac{1}{2} \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 \text{ см} $$

Тогда CH можно найти по теореме Пифагора:

$$ CH = \sqrt{CD^2 - DH^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \text{ см} $$

Тогда CB = CH + HB = $$3\sqrt{3}$$ + 2 см.

Площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту:

$$ S = \frac{AD + BC}{2} \cdot DH = \frac{2 + 3\sqrt{3} + 2}{2} \cdot 3 = \frac{4 + 3\sqrt{3}}{2} \cdot 3 = 6 + \frac{9\sqrt{3}}{2} = 6 + 4.5\sqrt{3} \text{ см}^2 $$

Ответ: $$6 + 4.5\sqrt{3}$$ см²