Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Вариант 2 •1. Решите систему уравнений (3x + y = 10, (x² - y = 8. К-5 (§ 7, 8) •2. Периметр прямоугольника равен 14 см, а его диа- гональ равна 5 см. Найдите стороны прямоугольника. 3. Не выполняя построения, найдите координаты то- чек пересечения параболы у = х² 14 и прямой х+ y = 6. 4. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств x² + y² ≤ 16, x+y-2 1+1=1, 5. Решите систему уравненийх y 2' 8x - y = 3.
Ответ:
Привет! Сейчас я помогу тебе решить эти задания. Будет немного сложно, но я уверена, что мы справимся!
Задача 1: Решить систему уравнений
Давай решим систему уравнений:
\[\begin{cases}
3x + y = 10, \\
x^2 - y = 8.
\end{cases}\]
Выразим \(y\) из первого уравнения:
\[y = 10 - 3x\]
Подставим это во второе уравнение:
\[x^2 - (10 - 3x) = 8\]
\[x^2 + 3x - 10 = 8\]
\[x^2 + 3x - 18 = 0\]
Решим квадратное уравнение. Дискриминант:
\[D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81\]
Корни:
\[x_1 = \frac{-3 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-3 + 9}{2} = \frac{6}{2} = 3\]
\[x_2 = \frac{-3 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-3 - 9}{2} = \frac{-12}{2} = -6\]
Теперь найдем соответствующие значения \(y\):
Для \(x_1 = 3\):
\[y_1 = 10 - 3 \cdot 3 = 10 - 9 = 1\]
Для \(x_2 = -6\):
\[y_2 = 10 - 3 \cdot (-6) = 10 + 18 = 28\]
Решение:
(3, 1) и (-6, 28).
Задача 2: Периметр и диагональ прямоугольника
Периметр прямоугольника равен 14 см, диагональ равна 5 см. Найдем стороны прямоугольника.
Пусть стороны прямоугольника будут \(a\) и \(b\). Тогда:
Периметр:
\[2(a + b) = 14\]
\[a + b = 7\]
Диагональ (по теореме Пифагора):
\[a^2 + b^2 = 5^2 = 25\]
Выразим \(b\) из первого уравнения:
\[b = 7 - a\]
Подставим во второе уравнение:
\[a^2 + (7 - a)^2 = 25\]
\[a^2 + 49 - 14a + a^2 = 25\]
\[2a^2 - 14a + 24 = 0\]
\[a^2 - 7a + 12 = 0\]
Решим квадратное уравнение. Дискриминант:
\[D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1\]
Корни:
\[a_1 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4\]
\[a_2 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3\]
Теперь найдем соответствующие значения \(b\):
Для \(a_1 = 4\):
\[b_1 = 7 - 4 = 3\]
Для \(a_2 = 3\):
\[b_2 = 7 - 3 = 4\]
Решение:
Стороны прямоугольника: 3 см и 4 см.
Задача 3: Координаты точек пересечения параболы и прямой
Даны парабола \(y = x^2 - 14\) и прямая \(x + y = 6\). Найдем координаты точек пересечения.
Выразим \(y\) из уравнения прямой:
\[y = 6 - x\]
Подставим это в уравнение параболы:
\[6 - x = x^2 - 14\]
\[x^2 + x - 20 = 0\]
Решим квадратное уравнение. Дискриминант:
\[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81\]
Корни:
\[x_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4\]
\[x_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5\]
Теперь найдем соответствующие значения \(y\):
Для \(x_1 = 4\):
\[y_1 = 6 - 4 = 2\]
Для \(x_2 = -5\):
\[y_2 = 6 - (-5) = 6 + 5 = 11\]
Решение:
Точки пересечения: (4, 2) и (-5, 11).
Задача 4: Изобразить множество решений системы неравенств
Дана система неравенств:
\[\begin{cases}
x^2 + y^2 \leq 16, \\
x + y > -2.
\end{cases}\]
Первое неравенство \(x^2 + y^2 \leq 16\) представляет собой круг с центром в начале координат и радиусом 4.
Второе неравенство \(x + y > -2\) представляет собой полуплоскость выше прямой \(x + y = -2\).
Множество решений — это пересечение круга и полуплоскости.
К сожалению, я не могу нарисовать точный график здесь, но ты можешь это сделать на координатной плоскости.
Задача 5: Решить систему уравнений
Давай решим систему уравнений:
\[\begin{cases}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}, \\
8x - y = 3.
\end{cases}\]
Выразим \(y\) из второго уравнения:
\[y = 8x - 3\]
Подставим это в первое уравнение:
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{8x - 3} = \frac{1}{2}\]
\[\frac{8x - 3 + x}{x(8x - 3)} = \frac{1}{2}\]
\[\frac{9x - 3}{8x^2 - 3x} = \frac{1}{2}\]
\[2(9x - 3) = 8x^2 - 3x\]
\[18x - 6 = 8x^2 - 3x\]
\[8x^2 - 21x + 6 = 0\]
Решим квадратное уравнение. Дискриминант:
\[D = (-21)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 6 = 441 - 192 = 249\]
Корни:
\[x_1 = \frac{21 + \sqrt{249}}{16}\]
\[x_2 = \frac{21 - \sqrt{249}}{16}\]
Теперь найдем соответствующие значения \(y\):
Для \(x_1 = \frac{21 + \sqrt{249}}{16}\):
\[y_1 = 8 \cdot \frac{21 + \sqrt{249}}{16} - 3 = \frac{21 + \sqrt{249}}{2} - 3 = \frac{21 + \sqrt{249} - 6}{2} = \frac{15 + \sqrt{249}}{2}\]
Для \(x_2 = \frac{21 - \sqrt{249}}{16}\):
\[y_2 = 8 \cdot \frac{21 - \sqrt{249}}{16} - 3 = \frac{21 - \sqrt{249}}{2} - 3 = \frac{21 - \sqrt{249} - 6}{2} = \frac{15 - \sqrt{249}}{2}\]
Решение:
\(\left(\frac{21 + \sqrt{249}}{16}, \frac{15 + \sqrt{249}}{2}\right)\) и \(\left(\frac{21 - \sqrt{249}}{16}, \frac{15 - \sqrt{249}}{2}\right)\).
Ответ: Решения задач выше.
Молодец! Ты хорошо поработал(а) над этими задачами. Не останавливайся на достигнутом, и у тебя все получится!
