Вариант 1 •1. Решите систему уравнений [x-2y = 1, xy + y = 12. •2. Одна из сторон прямоугольника на 7 см больше другой, а его диагональ равна 13 см. Найдите стороны прямоугольника. 3. Не выполняя построения, найдите координаты то- x+3y=7. чек пересечения окружности х² + 2 = 5 И прямой 4. Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 30 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 144 км, скорость первого велосипедиста равна 24 км/ч, скорость второго 28 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи. 5. Решите систему уравнений x Вариант 2 1 = 5x - y = 9. •1. Решите систему уравнений 13x + y = 10, x²- y = 8. •2. Периметр прямоугольника равен 14 см, а его диа- гональ равна 5 см. Найдите стороны прямоугольника. 3. Не выполняя построения, найдите координаты то- чек пересечения параболы у = х² 14 и прямой х + y = 6. 4. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 60 км. Отдохнув, он отправился обратно в А, увеличив скорость на 10 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. 141-1 5. Решите систему уравнений 2' 3x - y = 3.

Привет! Давай разберем эти задачи по порядку. Начнем с первого варианта, а затем перейдем ко второму. Вариант 1 1. Решение системы уравнений: \[\begin{cases} x - 2y = 1, \\ xy + y = 12. \end{cases}\] Из первого уравнения выразим x: \( x = 2y + 1 \) Подставим это во второе уравнение: \[ (2y + 1)y + y = 12 \] \[ 2y^2 + y + y = 12 \] \[ 2y^2 + 2y - 12 = 0 \] \[ y^2 + y - 6 = 0 \] Решим квадратное уравнение относительно y: \[ D = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \] \[ y_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \] \[ y_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3 \] Теперь найдем соответствующие значения x: Если \( y = 2 \), то \( x = 2(2) + 1 = 5 \) Если \( y = -3 \), то \( x = 2(-3) + 1 = -5 \)

Ответ: (5, 2) и (-5, -3)

2. Нахождение сторон прямоугольника: Пусть одна сторона равна \( a \), тогда другая \( a + 7 \). По теореме Пифагора: \[ a^2 + (a + 7)^2 = 13^2 \] \[ a^2 + a^2 + 14a + 49 = 169 \] \[ 2a^2 + 14a - 120 = 0 \] \[ a^2 + 7a - 60 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = 7^2 - 4(1)(-60) = 49 + 240 = 289 \] \[ a_1 = \frac{-7 + \sqrt{289}}{2} = \frac{-7 + 17}{2} = 5 \] \[ a_2 = \frac{-7 - \sqrt{289}}{2} = \frac{-7 - 17}{2} = -12 \] Так как сторона не может быть отрицательной, то \( a = 5 \), тогда другая сторона \( a + 7 = 12 \).

Ответ: 5 см и 12 см.

3. Координаты точек пересечения окружности и прямой: \[\begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ x + 3y = 7. \end{cases}\] Выразим x из второго уравнения: \( x = 7 - 3y \) Подставим в первое уравнение: \[ (7 - 3y)^2 + y^2 = 5 \] \[ 49 - 42y + 9y^2 + y^2 = 5 \] \[ 10y^2 - 42y + 44 = 0 \] \[ 5y^2 - 21y + 22 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = (-21)^2 - 4(5)(22) = 441 - 440 = 1 \] \[ y_1 = \frac{21 + \sqrt{1}}{10} = \frac{22}{10} = 2.2 \] \[ y_2 = \frac{21 - \sqrt{1}}{10} = \frac{20}{10} = 2 \] Найдем соответствующие значения x: Если \( y = 2.2 \), то \( x = 7 - 3(2.2) = 7 - 6.6 = 0.4 \) Если \( y = 2 \), то \( x = 7 - 3(2) = 7 - 6 = 1 \)

Ответ: (0.4, 2.2) и (1, 2)

4. Расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист: Пусть \( t \) - время в пути до встречи (без учета остановки первого велосипедиста). Путь первого велосипедиста: \( 24(t - 0.5) \) Путь второго велосипедиста: \( 28t \) \[ 24(t - 0.5) + 28t = 144 \] \[ 24t - 12 + 28t = 144 \] \[ 52t = 156 \] \[ t = 3 \] часа. Расстояние, которое проехал второй велосипедист: \( 28 \times 3 = 84 \) км.

Ответ: 84 км

5. Решение системы уравнений: \[\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6}, \\ 5x - y = 9. \end{cases}\] Из второго уравнения выразим y: \( y = 5x - 9 \) Подставим в первое уравнение: \[ \frac{1}{x} - \frac{1}{5x - 9} = \frac{1}{6} \] \[ \frac{5x - 9 - x}{x(5x - 9) = \frac{1}{6} \] \[ \frac{4x - 9}{5x^2 - 9x} = \frac{1}{6} \] \[ 6(4x - 9) = 5x^2 - 9x \] \[ 24x - 54 = 5x^2 - 9x \] \[ 5x^2 - 33x + 54 = 0 \] \[ D = (-33)^2 - 4(5)(54) = 1089 - 1080 = 9 \] \[ x_1 = \frac{33 + \sqrt{9}}{10} = \frac{36}{10} = 3.6 \] \[ x_2 = \frac{33 - \sqrt{9}}{10} = \frac{30}{10} = 3 \] Найдем соответствующие значения y: Если \( x = 3.6 \), то \( y = 5(3.6) - 9 = 18 - 9 = 9 \) Если \( x = 3 \), то \( y = 5(3) - 9 = 15 - 9 = 6 \)

Ответ: (3.6, 9) и (3, 6)

Вариант 2 1. Решение системы уравнений: \[\begin{cases} 3x + y = 10, \\ x^2 - y = 8. \end{cases}\] Выразим y из первого уравнения: \( y = 10 - 3x \) Подставим во второе уравнение: \[ x^2 - (10 - 3x) = 8 \] \[ x^2 + 3x - 10 = 8 \] \[ x^2 + 3x - 18 = 0 \] \[ D = 3^2 - 4(1)(-18) = 9 + 72 = 81 \] \[ x_1 = \frac{-3 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-3 + 9}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-3 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-3 - 9}{2} = -6 \] Найдем соответствующие значения y: Если \( x = 3 \), то \( y = 10 - 3(3) = 10 - 9 = 1 \) Если \( x = -6 \), то \( y = 10 - 3(-6) = 10 + 18 = 28 \)

Ответ: (3, 1) и (-6, 28)

2. Нахождение сторон прямоугольника: Пусть стороны прямоугольника \( a \) и \( b \). Тогда: \[\begin{cases} 2(a + b) = 14, \\ a^2 + b^2 = 5^2. \end{cases}\] \[\begin{cases} a + b = 7, \\ a^2 + b^2 = 25. \end{cases}\] Выразим \( a \) из первого уравнения: \( a = 7 - b \) Подставим во второе уравнение: \[ (7 - b)^2 + b^2 = 25 \] \[ 49 - 14b + b^2 + b^2 = 25 \] \[ 2b^2 - 14b + 24 = 0 \] \[ b^2 - 7b + 12 = 0 \] \[ D = (-7)^2 - 4(1)(12) = 49 - 48 = 1 \] \[ b_1 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] \[ b_2 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] Найдем соответствующие значения \( a \): Если \( b = 4 \), то \( a = 7 - 4 = 3 \) Если \( b = 3 \), то \( a = 7 - 3 = 4 \)

Ответ: 3 см и 4 см

3. Координаты точек пересечения параболы и прямой: \[\begin{cases} y = x^2 - 14, \\ x + y = 6. \end{cases}\] Выразим y из второго уравнения: \( y = 6 - x \) Подставим в первое уравнение: \[ 6 - x = x^2 - 14 \] \[ x^2 + x - 20 = 0 \] \[ D = 1^2 - 4(1)(-20) = 1 + 80 = 81 \] \[ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 + 9}{2} = 4 \] \[ x_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 - 9}{2} = -5 \] Найдем соответствующие значения y: Если \( x = 4 \), то \( y = 6 - 4 = 2 \) Если \( x = -5 \), то \( y = 6 - (-5) = 11 \)

Ответ: (4, 2) и (-5, 11)

4. Скорость велосипедиста на пути из А в В: Пусть \( v \) - скорость из А в В. Время из А в В: \( \frac{60}{v} \) Время из В в А: \( \frac{60}{v + 10} \) Уравнение: \[ \frac{60}{v} = \frac{60}{v + 10} + 3 \] \[ \frac{60}{v} - \frac{60}{v + 10} = 3 \] \[ \frac{60(v + 10) - 60v}{v(v + 10)} = 3 \] \[ \frac{60v + 600 - 60v}{v^2 + 10v} = 3 \] \[ \frac{600}{v^2 + 10v} = 3 \] \[ 600 = 3(v^2 + 10v) \] \[ 200 = v^2 + 10v \] \[ v^2 + 10v - 200 = 0 \] \[ D = 10^2 - 4(1)(-200) = 100 + 800 = 900 \] \[ v_1 = \frac{-10 + \sqrt{900}}{2} = \frac{-10 + 30}{2} = 10 \] \[ v_2 = \frac{-10 - \sqrt{900}}{2} = \frac{-10 - 30}{2} = -20 \] Так как скорость не может быть отрицательной, то \( v = 10 \) км/ч.

Ответ: 10 км/ч

5. Решение системы уравнений: \[\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}, \\ 3x - y = 3. \end{cases}\] Выразим y из второго уравнения: \( y = 3x - 3 \) Подставим в первое уравнение: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{3x - 3} = \frac{1}{2} \] \[ \frac{3x - 3 + x}{x(3x - 3)} = \frac{1}{2} \] \[ \frac{4x - 3}{3x^2 - 3x} = \frac{1}{2} \] \[ 2(4x - 3) = 3x^2 - 3x \] \[ 8x - 6 = 3x^2 - 3x \] \[ 3x^2 - 11x + 6 = 0 \] \[ D = (-11)^2 - 4(3)(6) = 121 - 72 = 49 \] \[ x_1 = \frac{11 + \sqrt{49}}{6} = \frac{11 + 7}{6} = 3 \] \[ x_2 = \frac{11 - \sqrt{49}}{6} = \frac{11 - 7}{6} = \frac{2}{3} \] Найдем соответствующие значения y: Если \( x = 3 \), то \( y = 3(3) - 3 = 9 - 3 = 6 \) Если \( x = \frac{2}{3} \), то \( y = 3(\frac{2}{3}) - 3 = 2 - 3 = -1 \)

Ответ: (3, 6) и (2/3, -1)

Надеюсь, тебе все понятно. Если что-то нужно уточнить, не стесняйся спрашивать! У тебя все получится! Молодец, что решаешь такие сложные задачи!