Вариант 1 • 1. Упростите выражение: a) (x-3)(x-7)-2x(3x-5); б) 4a (a-2)-(a-4)²; в) 2(m + 1)²-4m. 2. Разложите на множители: a) x³-9x; 6) -5a²-10ab-562. 3. Упростите выражение (y2-2y)2-y2 (y+3) (y-3)+2y(2y²+5). 4. Разложите на множители: a) 16x4-81; б) х²-х-у-у. 5. Докажите, что выражение х2-4х+9 при любых ачениях х принимает положительные значения.

Задание 1

a) Упростим выражение: \((x-3)(x-7)-2x(3x-5)\)

• Раскроем скобки: \(x^2 - 7x - 3x + 21 - 6x^2 + 10x\)
• Приведем подобные слагаемые: \(x^2 - 6x^2 - 7x - 3x + 10x + 21\)
• \(-5x^2 - 0x + 21\)

Ответ: \(-5x^2 + 21\)

б) Упростим выражение: \(4a(a-2)-(a-4)^2\)

• Раскроем скобки: \(4a^2 - 8a - (a^2 - 8a + 16)\)
• \(4a^2 - 8a - a^2 + 8a - 16\)
• Приведем подобные слагаемые: \(4a^2 - a^2 - 8a + 8a - 16\)

Ответ: \(3a^2 - 16\)

в) Упростим выражение: \(2(m + 1)^2 - 4m\)

• Раскроем скобки: \(2(m^2 + 2m + 1) - 4m\)
• \(2m^2 + 4m + 2 - 4m\)
• Приведем подобные слагаемые: \(2m^2 + 4m - 4m + 2\)

Ответ: \(2m^2 + 2\)

Задание 2

a) Разложим на множители: \(x^3 - 9x\)

• Вынесем общий множитель за скобки: \(x(x^2 - 9)\)
• Применим формулу разности квадратов: \(x(x - 3)(x + 3)\)

Ответ: \(x(x - 3)(x + 3)\)

б) Разложим на множители: \(-5a^2 - 10ab - 5b^2\)

• Вынесем общий множитель -5 за скобки: \(-5(a^2 + 2ab + b^2)\)
• Применим формулу квадрата суммы: \(-5(a + b)^2\)

Ответ: \(-5(a + b)^2\)

Задание 3

Упростим выражение: \((y^2 - 2y)^2 - y^2(y + 3)(y - 3) + 2y(2y^2 + 5)\)

• Раскроем скобки: \(y^4 - 4y^3 + 4y^2 - y^2(y^2 - 9) + 4y^3 + 10y\)
• \(y^4 - 4y^3 + 4y^2 - y^4 + 9y^2 + 4y^3 + 10y\)
• Приведем подобные слагаемые: \(y^4 - y^4 - 4y^3 + 4y^3 + 4y^2 + 9y^2 + 10y\)

Ответ: \(13y^2 + 10y\)

Задание 4

a) Разложим на множители: \(16x^4 - 81\)

• Применим формулу разности квадратов: \((4x^2 - 9)(4x^2 + 9)\)
• Применим формулу разности квадратов еще раз: \((2x - 3)(2x + 3)(4x^2 + 9)\)

Ответ: \((2x - 3)(2x + 3)(4x^2 + 9)\)

б) Разложим на множители: \(x^2 - x - y^2 - y\)

• Сгруппируем члены: \((x^2 - y^2) - (x + y)\)
• Применим формулу разности квадратов: \((x - y)(x + y) - (x + y)\)
• Вынесем общий множитель (x + y) за скобки: \((x + y)(x - y - 1)\)

Ответ: \((x + y)(x - y - 1)\)

Задание 5

Докажем, что выражение \(x^2 - 4x + 9\) принимает положительные значения при любых значениях x.

• Выделим полный квадрат: \(x^2 - 4x + 4 + 5\)
• \((x - 2)^2 + 5\)

Так как \((x - 2)^2\) всегда неотрицательно (квадрат любого числа больше или равен нулю), и к нему прибавляется 5, то выражение \((x - 2)^2 + 5\) всегда будет больше или равно 5, то есть всегда положительно.

Ответ: Выражение \(x^2 - 4x + 9\) всегда принимает положительные значения.